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Zweites Capitel. II. Abschnitt.
mufs nun noch für die n— 1 Werthe x n x 2) ... x n -i verschwinden.
Es folgt wieder a. 2 — 0, und indem mau durch den Schlufs von n auf
n -|- 1 fortgeht, erfährt man, dafs alle Coefficienten von f(x) Null
sein müssen, wenn die Gleichung f(x) = 0 (n -j- 1) Wurzeln haben
soll. Demnach kann eine algebraische Gleichung n teu Grades f\x) = 0
nicht mehr als n Wurzeln besitzen, und verschwindet eine ganze
Function n {eu Grades für n -f- 1 von einander verschiedene Werthe
des Argumentes, so sind sämmtliche Coefficienten der Function Null
und f\x) — 0 ist für jeden Werth x erfüllt.
Der zweite dieser Sätze soll eine wichtige Verwendung finden,
indem wir* zeigen, dafs die Coefficienten gleich hoher Potenzen zweier
für beliebige Variabelnwerthe übereinstimmende ganze Functionen
einander gleich sein müssen.
Die beiden Functionen seien von dem w len resp, w ten Grade und
es sei n > m, etwa n = m -(- v; sie heifsen
/ 0*0 — a 0 x n -j- a¡ x n 1 -j- a n —\ x -f- a n
g (x) = \x m -f b ] x"‘~ l H (- b m -ix + b m .
Dann soll der Voraussetzung gemäfs die ganze Function n ten Grades:
f{x)—g{x) = a^x n -\-a { x n - 1 -\ -f a v -ix n -^- 1 )-\-[a v ~ \)x n ~ v
-f- 1 b { )x n h-fi)
für beliebige also auch für (n -j- 1) bestimmte aber von einander ver
schiedene Werthe der Variabein verschwinden. Dazu mufs
a* o — a y — * • • — ay -x — O, ay b^ — O,
ay~|-i b^ — O,... ciyi ■ b¡fi — O
sein und der Satz leuchtet ein.
Ist von zwei ganzen Functionen keine von höherem als dem n' ea
Grade, so kann man auch sagen: Diese Functionen sind identisch
gleich, wenn sie für (n -f- 1) Argumentswerthe dieselben Werthe an-
nehmen.
Ferner besteht der Satz: Läfst sich eine ganze Function in das
Product zweier oder mehrerer ganzer Functionen zerlegen, so ist die
Summe der Gradzahleu der Factoren gleich dem Grade der gegebenen
Function und die Coefficienten gleichnamiger Potenzen der ursprüng
lichen Function und des Productes sind gleich.
Die unter der Voraussetzung, dafs eine Gleichung w len Grades
f(x) — 0 n Wurzeln habe, gewonnene Darstellung der ganzen Function
f\x) durch das Product von n Factoren ersten Grades und dem Cocf-
licienten der höchsten Potenz x H :
kann man offenbar auch aus der Annahme ableiten, dafs jede Glei-*
