Rationale ganze u. gebr. Functionen einer u. mehrerer Variabein. 
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chung mindestens eine Wurzel besitze. Wie man aber auch die Zer 
legung in Factoren ersten Grades ausführen mag, sie ist nur auf eine 
Weise möglich, wenn sie überhaupt existirt. 
Ist nämlich auch 
n 
fix) = [JiPvX — q v ), 
r — 1 
wo p v und q v Cuustanteu bezeichnen, so mufs vor Allem 
* *= P1P2 • • • P* 
sein, und wenn a 0 nicht verschwindet, darf keine der Gröfsen p v Nult 
sein. Setzt man nunmehr 
n 
f{x) -= a 0 . [J(x - |--) , 
V — 1 v 
q 
so verschwindet f\x) nicht blos an den Stellen —- (v — 1,2...n), 
Pv 
sondern auch au den Stellen x i ,x 2 ,.. .x n . Diese Worthereihen müssen 
nach den früheren Sätzen übereinstimmen. 
Nennen wir Frimfactor eine ganze Function ersten Grades, welche 
nur für einen Werth der Variabein verschwindet oder nur eine Null- 
steile hat, so können wir das dem Satze: Eine zusammengesetzte Zahl 
kann nur auf eine einzige Art in das Product von Primzahlen zerlegt 
werden, analoge Theorem für die ganze Function folgendermafsen aus 
sprechen : 
Eine ganze Function kann höchstens auf eine Art in das Fro- 
duct von Frimfactoren zerlegt -werden. 
Bei dieser Zerlegung können einige Primfactoreu öfter auftreten, daun 
erhält f{x) die Form 
f{x) = « () iX — Xf) ni ix — X.f) n - ... ix — Xmf m , 
wo die ganzen Zahlen n { , n,, . , . n m die Summe n besitzen. Hier heifst 
x fl eine n^-fache Nullstelle der Function fix), denn n /jL Wurzeln der 
Gleichung f\x) = 0 sind gleich x^ . 
Aus der angenommenen Zerlegung der ganzen Function 
n 
fix) = «o fj ix - Xr) 
V — 1 
geht hervor, dafs man die Cooflicienteu der Function 1 fix) durch 
ganze rationale Ausdrücke in den Wurzeln x [} x 2 ,...x n darstellen 
kann. Die Ausführung der Multiplication und der Vergleich der (Jo- 
efheienten gleichnamiger Potenzen in * (\x) und / / (a; x v ) ergibt 
«0 II. 
die Beziehungen: