Rationale ganze u. gebr. Functionen einer n. mehrerer Yariabeln. 
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wird und das ist die nothwendige Bedingung für die Stetigkeit der 
Function f in dem genannten Bereiche. 
Aus der Darstellung jeder ganzen Function f{x x , x 2 . . . x n ) als 
Summe einer endlichen Anzahl von Gliedern: 
A r , 
0»i — a x ) m < (x 2 — a 2 ) m * . . . [x n — a n ) r 
folgt aber, dafs jede ganze Function in der Umgebung jeder endlichen 
Stelle (a) stetig ist, denn man kann den absoluten Betrag von 
/ (¿rj, x 2 , . . . x n ) (aj, a 2 , . . . a n ) 
oder 
f\x { , x 2 . . . x n ) 
/8°f{x u x 2 ... x n ) \ 
dx 2 °...dx n ° )a,,c h ...a n 
kleiner machen als eine beliebig kleine Gröfse d, indem mau die Ya- 
riabeln x i , x 2 ... x n in hinreichend kleiner Umgebung der Stelle («) 
erhält. 
§ 22. Gemeinsame Theiler zweier ganzer Functionen mehrerer 
Variabein. 
Wir fassen auch wieder das gegenseitige Verhalten zweier ganzer 
Functionen f(x t , x 2 . . . x n ) und g(x l} x 2 . . . x n ) ins Auge. 
Vor Allem läfst sich den früheren Sätzen das Theorem entnehmen: 
Die Function g{x l} x 2 . . . x n ), als eine von x v abhängige Gröfse 
betrachtet, wird bei jedem Werthesystem x 2) x 3 . . . x n ein Theiler 
der ganzen Function f von x x sein, wenn so viele ganze Functionen 
von x 2 , x 3 . . . x n identisch verschwinden, als der Grad von g in 
x x auzeigt. 
Für ganze Functionen f n und g m einer Variabein bestand eine be 
stimmte Gleichung 
bj l m+1 f n == Pn—>m gm "j“ Qm-—1 ? 
und damit f n durch g m theilbar war, mufste g m ~i identisch verschwinden. 
Indem nun in unserem Falle die Coefficieuten von q m -i ganze Aus 
drücke in den Variabein x 2 , x 3 . . . x n werden, ist die Behauptung 
richtig. 
Um aber zeigen zu können, dafs unter den genannten Bedingungen, 
die auf das Verschwinden ganzer Ausdrücke in den (Jonstanten von f 
und g v zurückkommen, f überhaupt durch g theilbar ist, als Function 
welcher Variabein wir auch / und g auffassen, und dafs dann 
f\x x , x 2 . , . x n ) = h{x x , x 2 , . . . x n ) . g{x x , x 2 . . . x n ) 
wird, setzen wir mit Weierstrafs, in der Vermuthung, den Beweis mit 
Hilfe des Schlusses von (n— 1) auf n erbringen zu können, fest: 
1) Für zwei oder mehrere Functionen von (n — 1) Variabein mit 
einem gemeinsamen Theiler gibt es auch einen gröfsten Theiler,