124 
Zweites Capitel. II. Abschnitt. 
Angenommen, dafs in einem solchen Quotienten —— der Nenner 
g m als Product zweier ganzer Functionen gW und gW ohne gemein- 
samen Theiler darzustellen sei, so kann mau die Function als 
Summe zweier Quotienten ganzer Functionen ausdrücken, deren Nenner 
beziehungsweise die Factoren g№ und g№ sind. 
Die Gradzahlen von gW und g№ seien g und v (g -f- v = m), 
daun kann man diesen Functionen und g<p zwei und nur zwei 
Functionen 9? v _i und so zuordnen, dafs die Gleichung 
<Pv-1 9^ + %-i 9™ = 1 
besteht. Es existirt deshalb eine Relation der Form: 
1 
und dann wird 
gm-i 
Setzt man 
Qm-l <Pv-1 = Fm-2 gf ] + Qv-l , 
= — P'm-2 gf + Qu-1, 
so entsteht die Gleichung 
gm- 1 
9m 
oder 
Da aber die ganze Function q m -i nicht die Summe einer Function 
2 (m—l) ten und zweier Functionen (w—l) ten Grades sein kann, mufs 
hierin 
identisch verschwinden, und es folgt, dafs eine echt gebrochene ratio 
nale Function, (in welcher der Zähler von niedrigerem Grade ist als 
der Nenner, und) in welcher der Nenner das Product zweier ganzer 
Functionen ohne gemeinsamen Theiler ist, als Summe zweier echt ge 
brochener rationaler Functionen dargestellt werden kann, deren Nenner 
die genannten Factoren sind. 
In der Gleichung 
gm—i Qr-l |_ Q/U—l 
sind die Functionen i, Q^-i höchstens von den bezeichneten 
Graden. —