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Zweites Capitel. II. Abschnitt.
aus, multiplicire diese Gleichung mit g(x), setze dann:
g(x) = (x—a,) Wi
;(m¡) t
“'lifr 1
Á™)(
fW = ft«,) + + • • • + /■<”>(«,) —r^
p.(») = r(«,) + ?'»(«,) ^ + • • • +
wobei angenommen ist, dafs /"(¿t) nicht die Nullstelle «, besitzt, und
vergleiche dann die beiden Seiten der nach Potenzen von {x—a l ) — h i
zu ordnenden Gleichung. Es ftdgt die Reihe von Beziehungen:
A m öüO , A m /-“ +1> (».)
1 «i,! < 2 (m,+ l)!
+
m * (2w, — 1)! (m, — 1)! ;
aus denen die Werthe von A^ successive zu entnehmen sind. Man
sieht unmittelbar, dafs alle Coefficienten verschwinden, wenn f{x)
die m, fache Nullstelle a x besitzt, und das sollte natürlich eintreffen.
Da die m, Coefficienten A^j hier durch die 2 m, Gröfsen g^fa)
und un d somit alle Coefficienten A ( *^ durch 2 m Gröfsen be
stimmt sind, endlich die ganze rationale Function p n - m n — m -f- 1
f
Coefficienten enthält, mufs die rationale Function — w-f-m-J-1 con-
9m
staute Gröfsen besitzen, und man wird dieselbe angeben können,
wenn ihre Werthe an Stellen
^0> ?!>••• j • • • I\m-\-n
vorgegeben sind.
Die zugehörigen Werthe heifsen
Vo> Vi
T]m > ^¡rn-^1 y • • • y]m~r-n *
f F
Gäbe es zwei Functionen —, -¡A- der verlangten Art, so müfste die
Q 7 Gr °
Um m
Gleichung
fn G~rn Í n g ,a P
(w-f-m) tRn Grades () Wurzeln £ haben; das geht nicht an,
folglich ist die Forderung eine bestimmte und es fragt sich nur, wie
die arithmetische Abhängigkeit der rationalen Function von dem Werthe
der Yariabeln ausfallen mufs, damit die Function den Anforderungen
genügt.
Setzt man zunächst voraus, dafs n der Werthe rj etwa
(v == # 1,2, ... n) Null sind, dann besitzt der Zähler f n die Gestalt: