Potenzreihen einer und mehrerer Yariabeln. 
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Damit die durch die Summe definirte Gröi'se F{x) die rationale 
Function umfasse oder nur irgend etwas mit der rationalen Function 
gemein habe, müssen wir voraussetzen, dafs die Summe nicht blos 
für einzelne Werthe der Yariabeln, sondern für alle Stellen eines wenn 
auch noch so kleinen Bereiches in der Umgebung einer ersten Stelle x 0 
absolut und somit auch unbedingt convergirt. 
Soll die unendliche Reihe in einem Bereiche unabhängig von der 
Anordnung ihrer Glieder f v d. h. unbedingt convergiren, so mufs man 
nach Annahme einer Gröfse 8 eine unendliche Anzahl von Gliedern 
derart abtrennen können, dais der absolute Betrag der Summe von 
beliebig vielen der übrig bleibenden Glieder für jeden Werth von x 
aus dem Bereiche um x 0 kleiner ist als 8. Diese Bedingung wird 
offenbar erfüllt sein, sobald man eine Reihe solcher positiver Gröfsen 
i • • • • 
von endlicher Summe augeben kann, dafs für jeden der in Rede stehen 
den V ariabelnwerthe 
\fv\ < 0C V {y = 1, 2 .. .). 
Die Gesammtheit der Stellen x 0 , für welche die Convergenzbedingung 
erfüllt ist, constituirt den Convergenzbereich der Summe. Dieser Be 
reich besteht uothwendig aus einem oder mehreren von einander ge 
trennten zweifach ausgedehnten Bereichen und jeder bildet ein zu 
sammenhängendes Continuum. 
Ob der Couvergenzbereich einer Summe rationaler Functionen 
stets begrenzt sein mufs, ob er sich in das Unendliche erstrecken d. h. 
die Umgebung der unendlich fernen Stelle x — oo enthalten kann, 
werden wir zu untersuchen haben; hier mag nur hervorgehoben werden, 
dafs der Couvergenzbereich der Summe einer endlichen Anzahl ganzer 
rationaler Functionen durch die Stelle oo, der der Summe einer end 
lichen Anzahl echt gebrochener rationaler Functionen durch die Null 
stellen der Nenner begrenzt ist, indem die einzelne dieser Functionen 
an den Stellen, wo der Nenner verschwindet, unendlich wird, und an 
der unendlich fernen Stelle das einzelne Glied der Partialbruchzerlegung 
A 
(x — u) m 
Null ist, weil der absolute Betrag dort verschwindet. — 
Man sieht leicht, dafs die Summe '^ t f v {x), welche einen Con- 
V 
vergenzbereich besitzt, keineswegs eine stetig veränderliche Gröfse 
y — F{x) definiren mufs; denn wenn F(x) an einer Stelle x 0 des 
Convergenzbereiches stetig sein soll, so mufs man nach Annahme 
einer willkürlich kleinen Gröfse 8 eine Umgebung q von x 0 angebeu 
können, dafs für alle der Bedingung *