Potenzreihen einer und mehrerer Yariabeln.
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definirten Bereiche gleichmäßig convergent, denn man kann eine ganze
Zahl m so bestimmen, dafs
| x n -{- x n + l -j- • • • 1 t, n -J- £ w+1 -j- • • • — % n
für jedes w |> m und jede der genannten Stellen kleiner wird als eine
beliebig kleine Gröfse d.
Offenbar liegt in dieser Definition der gleichmäfsig convergenten
Reihe nichts, woraus man schließen könnte, die Reihe sei auch unbe
dingt convergent. Nehmen wir daher nur an, daß die bestimmte Reihe
fi i x ) + /2 i x ) ~h * • * + fv (x) + • • •
bei der angegebenen Gliederfolge für x = a convergirt, so kann man
möglicherweise der Stelle x — a eine solche Umgebung r zuordnen,
daß die Reihe für alle der Bedingung \ x — a\ 5^ r genügenden Werthe
gleichmäßig convergirt und man sagt dann, die Reihe convergirt in
der Nähe von a gleichmäfsig.
Die für die Art der gleichmäßigen Convergenz charakteristische
ganze Zahl m ist auch als obere Grenze derjenigen Werthe zu deuten,
welche sich ergeben, indem mau für die in Rede stehenden Stellen x
Zahlen m' sucht, bei denen
¿¡jMx’) —^fv(x')
< d
wird, sobald n'^>m' ist. — Ist die obere Grenze nicht endlich, so
kann zwar die Reihe au jeder einzelnen Stelle convergiren, sie con
vergirt aber nicht gleichmäfsig in dem durch die Gesammtheit der
Stellen constituirten Bereiche.
Die Umgebungen jeder einzelnen Stelle a, in deren Nähe die Reihe
gleichmäßig convergirt, haben eine obere Grenze B. Die Gesammtheit
der durch die Bedingung
\x — a\ < B
gekennzeichneten Stellen nennt mau kurzweg die Umgehung von (a).
Geht man von dieser aus, so gelangt man — den Begriff der Um
gebung in diesem Sinne nehmend — auf bekannte Weise zu einem
Continuum von Stellen, in deren Nähe die Reihe gleichmäfsig con
vergirt, dem Bereiche gleichmäfsiger Convergenz.
Weiß man, dafs eine Reihe in der Nähe jeder Stelle gleichmäfsig
convergirt, die im Innern oder auf der Begrenzung eines Continuums
liegt, so convergirt sie auch in dem ganzen Bereiche gleichmäfsig.
Dieser Satz ist gerade so zu beweisen, wie der bereits erledigte
Satz; eine an jeder Stelle eines Continuums stetig veränderliche Gröfse
ist in dem ganzen Continuum stetig, und darum unterdrücken wir hier
den Beweis. Es soll nur bemerkt werden, dafs der Radius der Um
