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Drittes Capitel, I. Abschnitt.
gebung einer der Umgebung R von a ungehörigen Stelle b innerhalb
der Grenzen liegt
R — d und R -{- d,
wo d — | b — a | ist.
Jetzt behaupten wir, dafs die Summe einer Reihe innerhalb ihres
Bereiches gleichmäfsiger Convergens eine stetig veränderliche Gröfse ist.
co
In der That: ist a eine Stelle, in deren Nähe die Reihe 2 fv. 0)
1
gleichmäfsig convergirt, und ist d eine beliebig kleine positive Gröfse,
die wir in die Summe von dj und d 2 zerlegt denken, so kann man
eine ganze Zahl m derart angeben, dafs in gewisser Nähe von a der
absolute Betrag von
CO
v = n
kleiner wird als eine Gröfse s, sobald n > m ist, und
co co
yj (fv(») — fv{a)) < yj f v {x)
+
<
wird. Wählt man daun noch eine Umgebung von a so kleiu, dafs auch
^ (A0*0 — fv{a))
< d
wird, so ist die für die Stetigkeit von F{x) an der Stelle a noth-
wendige Bedingung
1 F{x) - *»1 < d
erfüllt und die Behauptung erwiesen.
Von einer unendlichen Reihe rationaler Functionen mehrerer Va-
riabeln
co
f 7 *^2 y ' • ‘ ^'«) ==: 1- iß* 1 } *^2 7 • • • ^n)
V—l
sagt man ebenfalls, sie convergirt in einem 2w-fach ausgedehnten zu
sammenhängenden Bereiche gleichmäfsig, wenn man nach Annahme
einer beliebig kleinen Gröfse ö eine ganze Zahl m so angeben kann,
dafs der absolute Betrag der Summe
00
v=n
für jede dem Bereiche ungehörige Stelle (x) kleiner ist als d, sobald
n i> m ist.
Convergirt die Reihe in der Nähe einer Stelle {x) gleichmäfsig,
so kann man, von diesem Bereiche ausgehend, ein 2w-fach ausgedehntes
Contiuuum von Stellen finden, in deren Nähe die Reihe gleichmäfsig