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Drittes Capitel. II. Abschnitt. 
hat, wie eine ganze rationale Function in dem endlichen Bereiche der 
Variabelu. 
Greift man in dem Convergenzkreise irgend eine Stelle b heraus, 
so kann mau aus s ,p (x \ a) eine nach Potenzen von {x — b) fortschrei 
tende Potenzreihe ip(#|a, 6) in bestimmter Weise ableiten. Ihr Con- 
vergenzkreis um die Stelle b kann entweder ganz dem Convergenz- 
bereiche der Reihe [x | a) angehören und berührt dann die Grenze des 
letzteren, oder aber er kann Stellen c der Begrenzuug von (A) ent 
halten, und dann enthält er auch Stellen, die aufserhalb (A) liegen. 
Au den Stellen des beiden Reihen gemeinsamen Convergeuzbereiches 
nehmen $(#(«) und ?${x\a, b) dieselben Werthe au. Wenn daher 
der Convergenzbereich von ?${x\a,h) nicht über den von (x\a) hin 
ausragt, so nimmt die abgeleitete Reihe keine Werthe an, die nicht 
auch die primitive gibt. Andernfalls heilst die abgeleitete Reihe eine 
Fortsetzung der ersten. Weil s jß(x|a) auch aus ^{x\a, b) abzuleiten 
ist, ist unigekehrt SP(#|a) eine F'ortsetzujig von ty{x\a, b). 
Bezeichnet c eine Stelle auf der Begrenzung des Bereiches (yl) 
und enthält der Convergenzkreis der Fortsetzung ^ {x \ a, b) diese 
Stelle, so gibt es auch eine nach Potenzen von (x — c) fortschreitende 
Reihe *p(#( a,b,c), die an den Stellen des dieser und der Reihe 
gemeinsamen Convergeuzbereiches dieselben Werthe hat wie die pri 
mitive Reihe. 
Darum kann der Convergenzkreis von $p(a;|«, b) nicht alle Grenz- 
stelleu des Bereiches (A) enthalten, denn sonst gäbe es in der Um 
gebung jeder solchen Stelle c eine Reihe 5p(ic|a, b, c), die im Innern 
des dem Bereiche (A) und dem eigenen Convergenzkreise ungehörigen 
Gebietes mit^p(a;|n) übereinstimmt, und das ist nicht möglich, wenn 
(yl) der wahre Convergenzbereich der gegebenen Reihe ist. 
Man sieht also, dafs die ausgezeichneten Stellen der wahren Con- 
vergenzgrenze von (M), in deren Umgebung keine durch Vermittlung 
einer Stelle b aus (x\ a) abgeleitete Reihe existirt, auch solch aus 
gezeichnete Stellen abgeleiteter Reihen ip(#| a,b) sein werden und 
offenbar wird der Convergenzkreis von 5p {x \ a, b) durch die der Stelle 
b nächstliegende Stelle der genannten Art auf der Begrenzung von 
{A) gehen müssen. Man nennt diese Stellen singuläre. 
Aus den Reihen ty(x\a,h) kann man neue ableiten. Die Gesammt- 
heit der aus der ursprünglichen direct und indirect ableitbaren Reihen 
stehen in derartigem Zusammenhang, dafs aus jeder Reihe jede andere 
abzuleiten ist, wornach jede die Rolle der ersten übernehmen kann. 
Man sagt: 
Die Gesammtheit der aus einer gegebenen lleihc ableitbaren und 
in einander f ortsetzbar en Potenzreihen constituirt eine monogene 
analytische Function.