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Begriff der monogenen analytischen Function.
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keine Potenzreihe ^s'(^lc') angeben kann, die keine singulären Stellen
in ihrem Oonvergenzbereiche enthält. —
Wenn die singulären Stellen aller aus einem ersten hervorgehenden
Elemente ein Continuum begrenzen, außerhalb dessen noch Stellen x 0
existiren, so müssen wir sagen, dort ist die Function nicht definirt,
denn man kann kein Element nach x 0 fortsetzen. Die Grenzstellen
des Stetigkeitsbereiches einer Function werden wir aber später zu dem
„Bereiche der Function“ zählen, wenngleich man auch nach diesen
Stellen kein Element fortsetzen kann.
Es sei f{x) eine eindeutige Function. Läfst sich dieselbe in der
Umgebung einer Stelle a in Form einer daselbst convergenteu Potenz
reihe 5p(a;|a) darstellen, gehen somit die Werthe von f(x) in dem ge
nannten Bereiche aus der Gleichung
CO
hervor, so heilst die Function in der Umgebung der Stelle a regulär
oder von regulärem Verhalten.
Die Gesammtheit der Stellen, an denen sich eine eindeutige ana
lytische Function regulär verhält, bildet den Stetigkeitsbereich der
selben. Innerhalb dieses Bereiches ist f{x) eine endliche, stetig ver
änderliche Gröfse, die an jeder Stelle x () einen bestimmten Werth an
nimmt, der auch offenbar als Grenzwerth derjenigen Werthe anzusehen
ist, welche sich ergeben, wenn man für eine nach x convergärende
Reihe von Yariabelnwerthen die zugehörigen Functionalwerthe sucht.
Befindet sich die Stelle x 0 auf dem Convergenzkreise eines Elementes
^,(a;|ö) der Function, ohne auf der Begrenzung des Stetigkeitsbereiches
derselben zu liegen, und bezeichnet
eine dem Oonvergenzbereiche von ungehörige Punktmeuge mit
der Grenzstelle x 0 , so werden die Werthe
nach dem bestimmten Functionalwerthe f(x 0 ) convergiren, denn es
gibt eine Reihe ^$ 2 (x\x t) ), die an denjenigen Stellen ihres Convergenz-
bereiches, welche auch dem Oonvergenzbereiche der Reihe (x\h)
angehören, dieselben Werthe besitzt wie (#|&), und der Functioual-
werth an der Stelle x 0 ist gleich
№2 i x I *o)J
oder gleich dem Grenzwerthe der Reihe
? 2 K” +1) | a; o) • • • ,
wo nun {v — 0, 1,2,...) nur mehr Stellen sind, welche auch
in dem Oonvergenzbereiche von (# | ¿z’ 0 ) liegen.
