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Drittes Capitel. II. Abschnitt.
Der so definirte Werth braucht nicht direct durch die Substitution
x=x 0 aus der Reihe ^(#1 h) hervorzugehen, da eine Potenzreihe nur
in ihrem Convergenzbereiche stetig sein raufs.
Aus diesen Betrachtungen geht hervor, dafs eine eindeutige ana
lytische Function an einer singulären Stelle c, wo eine der in dem
Stetigkeitsbereiche bestehenden Eigenschaften der Endlich-, Stetig- und
Eindeutigkeit verloren gehen mufs, nicht einen von demjenigen end
lichen Grenzwerthe verschiedenen endlichen Werth besitzen kann, nach
welchem 'die aus einem Elemente mit der singulären Stelle c entsprin
genden Fuuctionalwerthe convergiren, sofern die Variabelnwerthe aus
dem Innern des Convergenzbereich.es des genannten Elementes nach
c convergiren, d. h. die analytische Function kann keine endlichen Dis-
continuitäten an ihren singulären Stellen erleiden.
ln der That: sei fix) eine analytische Function mit solch einer
singulären Stelle c, so wird {x — c).f(x) in der Umgebung von c re
gulären Verhaltens sein und die das Product darstellende Potenzreihe
hat die Gestalt
GO
(x — c) 5p {x — c) = ^c v (x — c) v ,
V—l
weil das Product für x — c verschwindet; dann aber ist f\x) in der
Umgebung von c regulär und die Voraussetzung ist nicht zulässig.
Die Function kann an einer singulären Stelle c auch nicht dadurch
vieldeutig sein, dafs sie daselbst bei einer endlichen oder unendlichen
Anzahl verschiedener Annäherungen mit den Variabelnwerthen ver
schiedene aber endliche Werthe annimmt, denn es gäbe immer noch
Potenzreihen die mit gewissen, aus dem primitiven Elemente
abgeleiteten Reihen, deren Couvergenzkreise die singuläre Stelle c be
sitzen, an unendlich vielen Stellen mit der Häufungsstelle c überein
stimmten, und übrigens wäre auch (x — c) f{x) und dann /‘(^regulär.
Also auch dieses Verhalten ist zufolge der Definition der singulären
Stelle nicht möglich.
Die eindeutige analytische Function wird demnach an den singu
lären Stellen jedenfalls unendlich und gleichzeitig vielleicht auch viel
deutig. Diese Möglichkeit kann man hier nicht ausschliefsen, denn
die letzten Argumentationen verlieren nun ihre Berechtigung. Fine
eindeutige analytische Function, die aber überhaupt nicht unendlich
wird, gibt es nicht, oder — was dasselbe sagt — eine solche Function
kann nur eine Constante sein.
Um die Art des Unendlichwerdens zu fixireu, suchen wir zunächst
die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dafs eine eindeu
tige analytische Function fix) an einer Stelle x 0 endlich und stetig
bleibt.