Die Elemente der Arithmetik. 
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Setzt man an Stelle jedes der Elemente einer Zahl b die Zahl a, 
so entsteht die Summe 
♦ a -f- a -f- • • • « (bmal), 
die man kurz mit a .h oder kurz a & bezeichnet. Die Operation, durch 
welche ah (sprich a mal h) gebildet ist, nennt man Multiplication; 
ah heilst das Product der Factoren a und h, a der Multiplicandus, 
h der Multiplicator. 
Wir bemerken, dais das Product aus a ebenso zusammengesetzt 
ist, wie h aus der Einheit oder dem Grundelement, so dafs man sagen 
kann: 
Eine Zahl mit einer andern multipliciren heißt, eine dritte 
Zahl so aus dem Multiplicandus bilden, wie der Multiplicator aus 
der Einheit gebildet ist. 
Indem die Multiplication hier aus der wiederholten Addition hervor 
geht, ist sie nicht als selbständige Rechnungsart anzusehen, und wir 
werden sie erst später als eine von der Addition verschiedene Ver 
knüpfungsweise betrachten müssen. 
Man kann in 
a -f- a + • • * + a (&raal) 
aus jeder Gruppe von a Elementen eines herausnehmen und deren 
Vereinigung gibt b. Dieser Vorgang ist a mal möglich; die Ver 
einigung gibt 
h -f- b -f- • • • -f- b (a mal) = ha, 
und es ist 
ab = ba. (1) 
Bilden wir die Summe der folgenden b Horizontalreihen, deren 
jede die Zahl c «mal enthält, 
c, c .. . c 
c, c . . . c 
c, c .. .c 
und andererseits die Summe der a Verticalreihen, deren jede die Zahl 
c &mal enthält, so folgt das Multiplicationsgesetz: 
(ca) . b = (cb) . a, 
und weil die Zahl c a&mal als Summand vorkommt, ist ferner 
(ca) . b = (cb) a — c (ab),*) (2) 
d. h. das Resultat der Multiplication ist unabhängig von der Folge 
der Factoren und unabhängig von der Zusammensetzung der Factoren 
in Theilproducte. 
) Vergl. Dirichiefs Zahlentheorie.