Begriff der monogenen analytischen Function. 
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F | (x | X\) , (x | Xj) , . . . -pra (x | X] ) , 
und setzt man die obigen Ausdrücke auf irgend einem von x Q nach x x 
führenden Wege fort, so erhält man stets dieselben Ausdrücke 
spi + spi H h % 
%... . 
Die n Reihen 
% (x | xf), |«i),... % {x| x 0 ), 
in welche sich die transformirteu Ausdrücke* zusammenziehen lassen, 
sind keine anderen als die auf irgend einem Wege abgeleiteten Fort 
setzungen der n Elemente ) (v=l,2, 
Der Beweis ist sehr einfach: Nehmen wir zunächst an, dais die 
Stelle x v in dem gemeinsamen Convergenzbereiche der Reihen | xf) 
liege, und setzen z. B. in 
?i(»l»o) + ? 2 №o) h $«№o) = ?0»|»o) 
jede Reihe nach x l fort, so entsteht durch Vereinigung der Reihen 
{x\Xq, x x ) eine Reihe 
n 
( x | X¡) — ^ ^ (x I x 0 , Xj) , 
H=l 
die an unendlich vielen Stellen jeder Umgebung von x x mit der aus 
'4$ (x | x Q ) abgeleiteten Reihe {x | x 0 , xf) übereinstimmt. Es wird also 
%{x\xo, Xi) = ^{x\x x ). 
So kann man fortfahren-, und der Satz ist evident, den mau all 
gemein dahin aussprechen kann: jEine analytische d. h. durch die ele 
mentaren Gröfsenoperatienen ausdrüchhare Beziehung zwischen Botenz- 
reihen von gemeinsamein Convergenzbereiche bleibt auch für die simul 
tanen Fortsetzungen bestehen. 
Die n elementarsymmetrischen Ausdrücke oder die Potenzreihen 
{x| xf) definiren somit eindeutige analytische Functionen, welche in 
dem Bereiche, wo es m aus 43(íc|oO entspringende Elemente gibt, ex- 
istiren. An den singulären Stellen werden sie aber unendlich, und 
weil /,(#) nur dadurch unendlich werden kann, dafs eines der Ele 
mente «P M (ác|áC 0 ) oder e i lie der Fortsetzungen dieser Reihen eine singuläre 
Stelle hat, in deren nächster Nähe der Werth eines Zweiges gröfser 
wird als jede vorgegebene Gröfse, so ist auch die wdeutige analytische 
Function au einer ihrer Grenzstellen unendlich. — 
Bezeichnen wir die mdeutige Function mit y(x) und sind die n 
Werthe an derselben Stelle x 0 
Vi Oo) j Vi (po) t ••• Vn (^0)