Begriff der monogenen analytischen Function. 
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In diesem Capitel soll nur noch einer Reihe von Functionen ge 
dacht werden, die zugleich mit einer analytischen Function existiren: 
wir meinen die Ableitungen. 
Wir wissen, dafs das einzelne Element einer Function: 
QO 
s jß(a;|a) = ^?a v {x — a) v 
eine bestimmte Ableitung besitzt: 
co 
die zum mindesten ebenso lange convergir! als die gegebene Reihe; es 
muís aber untersucht werden, ob die Ableitungen der Fortsetzungen 
von auch Fortsetzungen von sind oder ob die Ablei 
tungen aller Elemente einer monogenen analytischen Function selbst 
eine monogene analytische Function constituiren. *) 
Diese Frage beantwortet man damit bejahend, dais man zeigt, 
die Ableitung der durch Vermittlung von Stellen a 2 ,... a„ ge 
wonnenen Foteuzreihe 
QO 
V = l 
ist identisch mit der auf demselben Wege ermittelten Fortsetzung von 
(x | a), nämlich mit 
^'0|a, a 2 ,... a n , x 0 ). 
Man hat den Beweis nur für direct ableitbare Reihen zu erbringen. 
Wir stellen also die Reihe 
00 
QO 
auf, bilden die Ableitung und zeigen deren Identität mit 
Die Reihen und 5ß(a;|a, a y ) besitzen einen gemeinsamen Oou- 
vergenzbereich. Sind x und x -f- h zwei Stellen dieses Bereiches, so 
entsteht beim Ordnen der Reihe ^a v {a — a x -\-{x-\-h— «,))” nach Po 
tenzen von h: v = 0 
^{x-\-h\a, «,) = h), 
wo auch , (¿c j /¿) mit h unendlich klein wird. 
Die genannten Ausdrücke stimmen in einer Umgebung von x 
überein. Da aber dort und ^(#|a, «,) dieselben Werthe er 
geben und daselbst 
*) Siehe Pinchorle 2, Theil § 31.