Viertes Capitel,
über den Umfang des Begriffes der analytischen Function.
I. Abschnitt.
Theorie der algebraischen Gleichungen.
§ 36. Einleitung.
Mit den bisherigen Definitionen hat die allgemeine Functionen-
theorie insoweit einen bestimmten Inhalt, als genau formulirt ist, was
für veränderliche Gröfsen als Functionen bezeichnet werden; doch der
bestimmt gewählte Begriff einer analytischen Function wird erst da
durch von Bedeutung, dafs man die durch irgend einen arithmetischen
Zusammenhang defiuirten Gröfsen als analytische Functionen erkennen
lernt. Wenn aber einmal gezeigt ist, dafs der Functionsbegriff die
irgendwo in Rechnung tretenden Gröfsen wirklich umfafst und nicht
zu eng gewählt ist, dann kann man andrerseits bei der Frage nach
Gröfsen von bestimmt analytisch ausdrückbarer Eigenschaft stets ver
langen, dafs die gesuchte Gröfse in einem endlichen, wenn auch noch
so kleinem Bereiche der unabhängigen Variabein eine analytische
Function, und dort als solche durch eine convergente Potenzreihe dar
stellbar sei. Aus der primitiven Reihe, deren unbestimmte Coefficienten
mit Hilfe der Voraussetzung bestimmt werden, dafs das Element die
Eigenschaft der gesuchten Function besitze, geht durch Fortsetzung
eine analytische Function hervor, welche in ihrem ganzen Giltigkeits
bereich die verlangte Beschaffenheit aufweist, wenn die gefundene
Potenzreihe wirklich convergent ist. Wir ziehen dabei gewifs nur Zahlen-
gröfsen in Betracht, welche in der arithmetischen Einleitung als in
der Rechnung zulässige bezeichnet waren.
Nach dieser kurzen Andeutung zweier Aufgaben der Functionen
theorie, die den Gang für die ferneren Untersuchungen vorzeichnen,
wenden wir uns gleich zu der Frage, ob eine von n unabhängig ver
änderlichen Gröfsen x x , x 2 , . . . x n abhängige Grölse y, weiche durch
eine Gleichung m ten Grades in y defiuirt sei, in welcher die Coefficienten
Bieiuiauu, Functioueutheorie. 13