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Viertes Capitel. I. Abschnitt 
eindeutige analytische Functionen sein mögen, eine analytische Func 
tion ist. 
Die Gleichung laute: 
F{y, x x , x 2 .. .x n ) = y m -ilj 0 {x x , x 2 ,.. .x n ) + y m ~ x ty x {x x , x 2 ,...x n ) -j 
‘ * ' —(“ Tpin (ß'i • X'i j • ■ • &n) — 9 . 
Wir wissen bereits, dafs jedem Werthesysteme der Variabein 
{X\, x 2 , ...x n ), für welches die Coefficienten endliche Werthe be 
sitzen, im Allgemeinen m von einander verschiedene Werthe y zu 
gehören. Die Gröfse y ist also m-deutig, doch weil einer ihrer Werthe 
an der Stelle (# (0) ) unendlich wird, wenn diese eine Unendlichkeitsstelle 
ip 
eines der Coefficienten —- ist, so müssen die m Functionen 
ipo 
I; (f* = U2...«) 
einen gemeinsamen Stetigkeitsbereich besitzen. Werden die letzten 
{m — n) dieser Functionen an einer und derselben Stelle (x ( °)) ihres 
ip n 
Stetigkeitsbereiches unendlich klein, — aber nicht, so nimmt die aus 
der Gleichung 
y m -f -p- y m ~ x + • • • + = 0 (a) 
J 1 'V’o J ' 1 1f>o w 
hervorgehende Gröfse y au der Stelle (x( 0) ) (w — n) unendlich kleine 
Werthe an. Im Falle n — m — 1 haben wir diese Behauptung als 
richtig erkannt und wenn wir sie als zutreffend ansehen, sofern die 
tjf 
letzten m — n — 1 Coefficienten —— unendlich klein sind, so folgt sie 
ip 0 ö 
auch in dem genannten Falle. 
In der That: bezeichnet y' eine der (m — n — 1) unendlich kleinen 
Wurzeln, die nun existiren, so genügen alle übrigen Lösungen der 
neuen Gleichung 
: {y — ?/') = 0 • 
Da aber in dem Resultate der Division: 
F{y)-F{y’) _ y 
y - V 
+ 
iT, y* y m ~ l - y' m ~ x 
y — y' ' Vo y — y' 
- + 
+ 
% y — y 
ipo y — y 
y* 
= V y mßy'ß-X + lL ^ ym—fi y ' ß 2 _|_ . . ^T^l^ym-ßy'ß-n, , 
H=1 U ß —2 0 ß=m 
wenn dasselbe noch nach abnehmenden «/-Potenzen geordnet wird, die 
letzten (m — n—1) Coefficienten unendlich klein werden, hat die 
Gleichung (a) wirklich (m — n) unendlich kleine Wurzeln.