Über deu Umfang des Begriffes der analytischen Function,
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theilbar und die Gleichung F = 0 hat alle Wurzeln, welche der Glei
chung G — 0 zukommen. —
Wenn aus der irreductiblen algebraischen Gleichung
G (tf, X j , X2 , . • • Xn) — 0
für ein bestimmtes Werthesystem der unabhängigen Variabein
00 ^ j OOq — (^2 • • • 00fi • ; 1 O/fi
eine endliche Wurzel y — b hervorgeht, so ist
G{y, a.>, ... a n )
ш (дв\ iy-Ь) , (8*G\ [y - b)* , , ( 8 m G \ (у - b) m
\ dy ) 1! 2! T ‘ \ dy m / m! ’
( ß/U q\
—den Werth des ;a len DiiFerentialquotienten von G nach у
für x v — a v {v = 1, 2 . . . n) und у — b bezeichnet. Verschwindet
( an dieser Stelle, so ist у — h eine zweifache Wurzel. Wir haben
aber schon bemerkt, dafs mehrfache Stellen (а) für eine ш-deutige
analytische Function auch Stellen sein können, wo für dieselbe nicht
m Poteuzreiheu existireu. Wenn wir daher beweisen wollen, dafs die
durch eine Gleichung G = 0 definirte Gröfse у eine analytische Function
ist, so werden wir, solange als es sich um den Nachweis handelt, dafs
у in der Umgebung einer Stelle (x) des Stetigkeitsbereiches der Coefü-
cienteu f fl (x l} x 2 , . . . x n ) in eine Poteuzreihe zu entwickeln sei, nicht
allein die Nullstellen von f 0 (x l5 x 2 , . . . x n ), sondern auch diejenigen
Stellen (x) ausschliefsen, für welche die Gleichungen
G = 0 und
gleichzeitig bestehen. Man findet diese Stellen, indem man die Null-
d Cr
stellen der Resultante von G und 0 , oder was gleichbedeutend ist,
8y ’ ° ’
die Nullstellen der Discriminante von G sucht.
D {Xy, x 2 , ... Я/ И )
Diese Discriminante
wird keinesfalls identisch verschwinden, weil vorausgesetzt war, dafs
G eine irreductible Function ist und G nicht durch theilbar sein
dy
kann. Umgekehrt werden aber den Nullstellen von I) mehrfache Lö
sungen von y entsprechen, und gleiche Wurzeln y können nur an
solchen Stellen bestehen, wo die Discriminante verschwindet.
Die Gesammtheit der zusammengehörigen Werthesysteme
(¿C|, x 2 , . . . x n , y),
welche die algebraische Gleichung erfüllen, nennt Weierstrafs das
durch die Gleichung definirte algebraische Gebilde im {2n -f- 2)-fach aus-
