1 
Die Elemente der Arithmetik. 
5 
a = «j b + c } (c < 6) 
b = n 2 c -f- d, (d < c) 
f = n m - ig -\- h (Ji < g) 
g = n m h, 
wo n X f n 2 . .. « m ganze Zahlen bedeuten. 
Man wird, wie hier angezeigt ist, bei dem beschriebenen Fort 
gang endlich eine Zahl f in ein Vielfaches einer Zahl g und einen 
„liest“ h zu zerlegen haben, der selbst Theiler von g ist. Der Procefs 
mufs einen Abschlufs haben, da es nur eine beschränkte Anzahl von * 
Zahlen gibt, die kleiner sind als b. Die Zahl h ist aber (nach dem 
SatzeS) auch Theiler von f und allen voranstehenden Zahlen, endlich 
auch von b und a. 
Den Satz 3) können wir folgendermafsen umkehren: Eine durch 
m theilbare Zahl c läfst sich nur so in eine Summe zweier Summanden, 
deren einer durch m theilbar ist, zerlegen, dafs auch der zweite diesen 
Theiler besitzt. Dann aber ergibt die Betrachtung unserer Gleichungen, 
dafs jeder gemeinsame Theiler von a und b auch ein Vielfaches von h 
ist, und darum ist h der gröfste gemeinsame Theiler von a und b. 
Ist in der Folge von Gleichungen schliefslich h gleich Eins, so 
haben a und b nur den selbstverständlichen gemeinsamen Theiler Eins. 
Indem man von diesem absieht, nennt mau solche Zahlen: Zahlen 
ohne gemeinsamen Theiler oder relative Primzahlen. 
Von diesen Zahlen gilt zunächst der Satz: 
„Sind a und b relative Primzahlen, und ist h eine beliebige 
dritte Zahl, so ist jeder gemeinsame Theiler von ah und b auch 
Theiler von h und b. u 
In der That, multiplicirt man in den früheren Gleichungen, wo 
wir h = 1 setzen, die rechten und linken Seiten mit h, so erhält man 
die Gleichungen 
ah = w, bh -f- eh 
bh = n 2 ch -{- dh 
fh — n m —igh -f- h 
gh = n ru h, 
weil ja mit A — li auch Ah — Bh ist, und an diesen Relationen ist 
die Behauptung leicht bestätigt. Jeder Theiler von ah und b ist auch 
Theiler von n { bh und eh, dann von n 2 ch und dh usw., endlich von 
fh, gh und h. 
Mit diesem Satze sind die folgenden bewiesen: 
1) Sind die Factoren eines Productes ah relative Primzahlen 
gegenüber b, so sind ah und b relativ prim.