Líber den Umfang des Begriffes der analytischen Function.
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ohne constantes Glied ein, so entstehen die Reihen
%X Ci — ^ (r 1 , T 2 , . • . T m | {ßfl)').
Setzt man schließlich r^ — ß iU — u^, so folgt die frühere Form
XX — Cl = («, , u 2 , . . . Um),
und dieses Element coincidirt mit dem ersten in der Umgehung von
(cx). Die somit anstatt t^ eingeführten Reihen
tfi = <Xfi ~}~ ))fi (u^ , ily } • U m )
haben aber nothwendig die Eigentümlichkeit, dafs die Determinante
dpt
dpi
dpt
du t ’
du 2 ’
’ du m
dPm
d Pm
dPm
dui ’
du 2 ’
an der Stelle u x = u 2 = • • • == u m — 0 nicht verschwindet. —
Stellt man unabhängig von den ursprünglichen Gleichungen 6r„ = 0
als Definition eines monogeneu analytischen Gebildes die Gesammtheit
der durch ein Element:
Xx (%X — > ^2 ) * ' ■ — 1 y 2 , . . . n —(- m)
und seiner Fortsetzungen gegebenen Wertliesysteme auf, so hat man
zu zeigen, dafs dieses Gebilde das durch die n Gleichungen definirte
umfafst. Nun wissen wir bereits, dafs überall, wo eine der Determi
nanten aus der Matrix
dGi
8G t
dx x ’
d x n+m
dG n
dG n
dx t ’
d X n-\-m
nicht verschwindet, n der Gröfsen x durch Potenzreihen in den übrigen
m Yariabeln und alle Gröfsen x durch Potenzreihen in m neuen Va
riabein darstellbar sind. Die Fortsetzungen dieser n Reihen sind aber
auch Fortsetzungen des Elementes, das nach der Anzahl der unabhän
gigen Variabein t eines m ter Stufe in dem 2 (n -f- ni)fach ausgedehnten
Gebiete der (n -(- m) Gröfsen xx genannt wird.
In der That: wenn die n Reihen
Xy tty — v(Xn^-1, X n _^_2 , . . ■ Xn^-ru j [Un-\-fi])
und das Element
Xx ax = • •.*
Biermann, Functionentheorie.
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