244 
Viertes Capitel. II. Abschnitt. 
II. Abschnitt. 
Durch Differentialgleichungen definirte analytische Functionen. 
§ 43. Totale Differentialgleichungen. 
Die eingeführten analytischen Functionen besitzen an allen nicht 
singulären Stellen Differentialquotienten jeder Ordnung nach den unab 
hängigen Variabeln. Wenn aber (az) eine singuläre Stelle ist, in 
deren Umgebung wohl ein Element 
Xz CIZ === , ¿2) • • * ^»«) == 1, 2 ... n -{- tu) 
aufzustellen ist, auf dafs 
dx v 
^,7 
und 
d x n +fi' 
existirt, kann man aber aus den letzten tn Potenzreihen , t 2 , ... t m 
nicht nach Potenzen von {x n ^ L — «„+,«) (ft = 1, 2 ... m) entwickeln, 
so wird der Differentialquotient 
dx v dx v 
~ZK+.u ~ ^ * ^»+¡7 
an der Stelle (a¿) nicht durch eine Potenzreihe 
(X n+1 1 • • • Xn-\-m 1 
darstellbar sein; d. h. der Differentialquotient der analytischen Function 
x v von x n +1, x n+2 , ••• x n+tn nach x n + fl wird an der Stelle (az) nicht 
von regulärem Verhalten sein. 
Soviel steht aber fest, dafs wir die Ableitungen unserer Functio 
nen als vollständig definirte analytische Functionen in Rechnung zu 
ziehen haben. Wenn die Ableitungen mit der Function gegeben sind, 
kann man fragen, ob eine vorgelegte analytische Function die Ab 
leitung einer gleichartigen Function sein kann, und allgemeiner mufs 
man untersuchen, ob man n analytische Functionen x v von m unab 
hängigen Variabeln so bestimmen kann, dafs zwischen den unab 
hängigen Variabein avp« (ft = 1,2 . .. m) und den Grölsen x v (v = 1,2 
...n) und einer nach den avp« genommenen bestimmten Anzahl von Ab 
leitungen verschiedener Ordnung derselben eine Reihe von Beziehungen 
besteht, die durch die arithmetischen Operationen mit den in Rede 
stehenden Gröfsen dargestellt sind. 
Gibt es Functionen dieser Art, so heifseu sie Integrolfunctionen. 
Wir nehmen zunächst an, dafs nur eine unabhängige Variable x in 
Betracht komme. Wir nennen die n von x abhängigen Gröfsen 
x x , x 2 , . . . x n und setzen fest, dafs zwischen diesen Gröfsen x selbst