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Viertes Capitel. II. Abschnitt.
den gegebenen Gleichungen genügen. Diese Aufgaben lassen wir hier
aufser Acht. —
Wir setzen voraus, dafs mau aus den neuen Gleichungen F v — 0
bei der Elimination von n— 1 Differentialquotienten niemals eine Glei
chung in x und den Gröfsen x x , x 2 , . . . x„ allein ableiten könne,
sondern dafs das System der Eliminationsresultate die Form erhält:
denn wenn einmal eine Gleichung G v {x, x x , . . . x n ) — 0 hervorginge,
so könnte man diese zur Reduction des Gleichungssystems F v — 0 auf
ein anderes benützen, in welchem die Anzahl von Differentialgleichungen
und Yariabeln um Eins vermindert ist.
Das System G r — 0, dem offenbar alle Lösungen der Differential
gleichungen F v — 0 genügen, wollen wir durch ein oder mehrere Normal-
gleichungssystenie der schon oben genannten Art ersetzen.
Bezeichnet man die Differentialquotienten mit y v und führt
eine neue Gröfe x n +1 ein, die durch den Ausdruck
a \V\ “f“ + * * * ~f- ttnVn
mit n willkürlichen Constanten defiuirt sei, so kann mau zunächst eine
algebraische Gleichung ableiten, welcher x n +\ genügt. Ist die Function
G v {x, x x , x 2 , ... x n , y v ) in y v vom m v len Grade und sind die Lösungen
der Gleichung G v — 0
so ist das Product
®0*+0 =. YJ{ Xn+1 ~ + a ‘¿y-I h) + • ' • + a n yll ln) )) 0)
über alle Factoren x n+l — (oqy^ a n y { 7 [ l n' 1 ), die bei den ver
schiedenen Combinationen der Lösungen y(™v) her vergehen, eine ganze
rationale Function von x n +i. Die neue Gröfse x n +i genügt der Glei
chung iD(av-i-i) = 0.
Sind die Gleichungen F v = 0 und G v — 0 in den Gröfseu x, x t ,
x 2 , . . . x n rational, so werden die Coefficieuten der verschiedenen Po
tenzen von avpi rationale Functionen der Coefficienten der Gleichungen
G v — 0 und somit rational in x, x X} x 2 , . . . x n , a,, a 2 , . . . a n sein.
Zerlegt man hierauf das Product in seine irreductiblen Factoren:
so sind deren Nullstellen
X n+l = a iVf + «2yV H f- a nVn ■
Genügt ein System von Gröfseu y№ (v = 1,2 . . . n) aus einer Wurzel
der Gleichung H — 0 gleichzeitig den Gleichungen G v = 0 und F r — 0,
