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Erstes Capitel. 
und wenn mau für a 0 a 0 ne n schreibt, folgt die Darstellung 
a = (a n n + a x v i -f- • • • -f- a m v m ) s n , 
wobei das dritte Multiplicationsgesetz ganzer Zahlen verwendet wurde. 
Zwei Zdhlengröfsen der neuen Art sind gleich, wenn sie so umge 
formt werden können, dafs beide dieselben Elemente und jedes in 
gleicher Anzahl enthalten. 
Will man also zwei Zahlengröfsen a und b vergleichen, so drücke 
man beide durch dasselbe Element s n aus und vergleiche die Anzahl 
dieser Elemente. Da man jedoch eine unbeschränkte Anzahl gemein 
samer Elemente s n wird angeben können, in denen sich a und h dar- 
stellen lassen, so mufs man nachsehen, ob die einmal als gleich be 
fundenen Zahlengröfsen bei anderer Yergleichungsart gleich bleiben. 
Angenommen a und h seien in der Form a x s m , b { s n gegeben, m 
und n hätten das kleinste gemeinschaftliche Vielfache r, und a und h 
erhielten in den Elementen s r die Gestalt a 2 s r und b 2 s r , so sind 
sie gleich, wenn a 2 —b 2 ist. Da jede weitere Darstellung in denselben 
Elementen die Form 
Oj 2 liSrkj b 2 Jc£rk 
annimmt, so sind die ursprünglichen Zahlengröfsen auch gleich, wenn 
a 2 k => b 2 k ist. Weil dann a 2 — b 2 sein mufs, schliefsen wir, dafs die 
Art der Vergleichung keinen Unterschied im Resultate hervorbringt. 
Wir ersehen aber auch, dafs die neuen Zahlengröfsen die folgen 
den nothwendigeu Forderungen erfüllen: 
mit a — b ist auch b = a, 
mit a = b und b — c wird a = c und 
mit a > b, b > c wird a > c. 
Die Addition der neuen Zahlengröfsen besteht jetzt darin, dafs 
man sämmtliche Elemente der Summanden zu einer Zahlengröfse ver 
einigt. In der Summe (a -f- b), die zufolge des Gleichheitsbegritfes von 
der Anordnung der Summanden unabhängig ist, kann man a und b 
durch jede gleichwerthige Zahlengröfse a und b' ersetzen, ohne den 
Werth der Summe zu ändern, und darum kann man die Summanden in 
demselben Elemente s n darstellen und die Anzahl dieser vereinigen. 
Das Product zweier Zahlengröfsen a und b soll den Multiplications- 
gesetzen ganzer Zahlen genügen, daher mufs das Product 
(«m + s m + • • • w»mal) .(*„-!-«« + .•• nmal) = mn {s m £ n ) 
sein, und weil 
me m = 1, ns n — 1, rnnsmn = 1 
ist, folgt 
mn (s m s n ) — (m s m ). (n £„) = mns mn 
und