11 
let wurde, 
so umge- 
jedes in 
so drücke 
ie Anzahl 
1 gemein- 
ind b dar 
gleich be- 
bleibeu. 
geben, m 
a und b 
so sind 
denselben 
ch, wenn 
dafs die 
rarbringt, 
ie folgen- 
rin, dafs 
räfse ver- 
ritfes von 
a und b 
ohne den 
landen in 
iuigen. 
lications- 
Die Elemente der Arithmetik, 
Damit resultirt das Multiplicationsgesetz 
ab = Cij £ m • bj B n = Oj) bj Bran; 
das wir so aussprechen: 
Das Product von a und b ist eine ZaMengrÖfse, die aus der 
GrÖfse a und deren Druchtheilen, so gebildet ist, wie h aus der 
Einheit und deren Druchtheilen. 
Mau erkennt, dafs die Multiplication hier bereits als selbständige Rech 
nungsart auftritt. 
Jetzt erst kommen wir zu dem Nachweise, dafs der Quotient 
ganzer Zahlen y, wo a kein Vielfaches von b ist, stets durch ge 
brochene Zahlengröfsen darzustellen ist. In der That, ist a = nb-{-r, 
so ist n -f- rs b — n -f- y diejenige Zahlengröfse, welche mit b multi- 
plicirt a gibt. 
Der Quotient zweier gebrochener Zahleugröfsen s m und bj e n ist 
wieder eine Zahlengröfse derselben Art und zwar gleich na l s mil , denn 
es gilt 
(nai Smbi) ^ n — £m ■ bj Bb l • n s n a. 
Die Subtraction der aus dem Grundelemente e oder der Einheit 
und deren ßruchtheilen s n gebildeten Zahleugröfsen ist so wie früher 
zu definiren, doch ist sie nur ausführbar, wenn der Minuend gröfser 
ist als der Subtrahend. 
Soll die Subtraction ganzer Zahlen oder gebrochener Zahleugröfsen 
stets möglich sein, d. h. soll auch in dem Falle, ivo der Minuend a 
Meiner ist als der Subtrahend b, eine Zahlengröfse a — b existiren, die 
zu b addirt a gibt, so müssen wir wiederum neue Zahleugröfsen ein 
führen, an die wir dieselben allgemeinen Forderungen stellen wie au 
die oben aufgenommeneu Gröfsen as n . 
Wir definiren neben dem Grundelemente e als entgegengesetztes e 
dasjenige, welches die Gleichung 
a -f- e -j- e = a 
erfüllt, worin a nur aus e zusammengesetzt ist. Das Grundelement e 
heifse das positive, sein entgegengesetztes e das negative. Die Summe 
von e und e zu a addirt gibt wieder a, mau schreibt daher auch 
e -f- e — 0 . 
Das entgegengesetzte Element des positiven Bruchtheiles B n von e 
heifse der negative Bruchtheil s*, und wiederum soll 
a + £ n + £ n — a °der s n -j- b„ = 0 
sein. Da 
a — a -}- ((e n -f- £„) -f- (f» -(- £ n) -f- • • • -j- -f- £ n ) wmal^ = 
= a —[- nc n —j— ns n = a —J— e -|— ns n