Ableitung der elementaren transcendenten Functionen einer Yariabeln. 265 
00 OO CO 
CO 
CO 
Wir können anuehmeu, dafs das die fundamentale Eigenschaft erfül 
lende Functionselement die Stelle Null in seinem Convergenzbereiche 
enthalte oder dafs dasselbe direct in der Umgebung dieser Stelle als 
bestehend vorausgesetzt werde, denn substituirt man statt z x -j- a, 
so wird zufolge der Fundamentalgleichung 
OO 
f{z) —f{a-\-z — a) — f{a) ,f{z — o) = f (a). f{x) = ' S >[c v x v 
í=0 
co 
und nun 
wenn nur f{a) von Null verschieden ist. Die Gleichung 
/(*) = /'(«)• — a ) 
lehrt aber, dafs f{x) für keinen Werth a aus dem Convergenzbereiche 
des primitiven Elementes verschwinden kann, denn sonst wäre f{z) 
an jeder Stelle desselben Null, und es gäbe keine Function der ver 
langten Art. 
Wenn demnach eine Function von besagter Beschaffenheit existirt, 
so gehört die Stelle Null und ein endlicher Bereich um diese Stelle 
zu ihrem Stetigkeitsbereiche. 
Wir überlegen nun, dafs für die Fortsetzungen von 5p{x) die 
Fundamentaleigenschaft des primitiven Elementes erhalten bleibt. In 
der That: wenn wir in der für einen festen Werth a und jeden Werth 
von x einer Umgebung von a gütigen Gleichung 
f{x -f- a) — /' (x). f {d) = 0 
für f(x) und f{x-\-d) die Potenzreihen 5p(ic) und 5p(ic-j-a) eiusetzen, 
so ftiüssen in der links entstehenden Keihe die einzelnen Potenzen von 
x verschwindende Coefficienten haben. Setzen wir aber statt f(x) und 
f{x -f- a) Fortsetzungen 5|3 {x — x 0 -f- x 0 ) und 5p (x — x 0 -f- {x 0 -f- a)) 
ein, so wird die neue Potenzreihe an unendlich vielen Stellen des Con- 
vergeuzbereiches mit der früheren Reihe übereinstimmen, also auch 
identisch verschwinden. 
Da somit dieselbe Beziehung (a) bei einem festen Werthe a be 
stehen bleibt und nun a auch variirt werden kann, so haben die Fort 
setzungen die Fundamentaleigenschaft mit dem primitiven Elemente 
wirklich gemein. 
Jetzt können wir zeigen, dafs die in Frage stehende Function in 
der Umgebung jeder im Endlichen gelegenen Stelle in eine Potenzreihe 
entwickelt werden kann. 
Wäre nämlich h i eine Stelle auf dem blos endlichen Convergenz-