Die Elemente der Arithmetik.
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Bruchtheilen c und e gebildeten Zahlengröfsen ist, wie wir gleich
sehen werden, mit Hilfe der Multiplicationsgesetze der aus e zusammen
gesetzten ganzen Zahlen auszuführen, wenn man nur die Multiplication
der Grundelemente, also die Producte
ee, ee', e'e, e’e'
auszuführen vermag.
Unter Festsetzung der Permanenz der früheren Verknüpfungs
regeln setzen wir gleich ee' = e'e.
Um die genannte Behauptung zu beweisen, zeigen wir, dafs neben
e
m
ee
mn
auch
c e i t. e
— und -
mn m n
e e
mn
ist. In der That schliefsen wir z. B. aus den Gleichungen
m ( e ■ e ’) = (- - + 4 + - • - ((mmal))
\m n) \m n 1 m n 1 ‘ m n \ s J )
=*( e ~ + -- H (m mal) ) . = e —
\m m 1 m x ' / n n
und
nm • —\ — e ( 4- c 4- ... 4- — (wmal)) = ee',
\m n) \n * n 1 'w v ’
dafs
e e' ec' ee' e e'
m n mn nm n m
wird. # Ebenso gilt
e e' _ e'e' e'e' e' e
m n mn nm n m
Wir müssen daher zur Multiplication unserer Zahlengröfsen nur noch
die Regeln für die Multiplication der Grundelemente kennen lernen.
Wegen e -j- e' — 0 ist
a — a -f- e -f- e' und ae = ae + e + e\
Die Multiplication der ersten Gleichung mit e führt auf
ae == ae -f- ee + e'e,
und wenn ee,= e festgesetzt wird, folgt
e'e = ee' = e'.*)
Weil ferner die Gleichungen
ae' — ae' -f- e -f- c', ae' — ae' -{- ee' -f- e'e'
bestehen, wird
e'e' = e.
Sind nun a und h zwei aus e und e', £ n und s' n zusammengesetzte
Zahlengröfsen, so besteht die Multiplication von a mit h darin, dafs
man eine dritte Zahlengröfse aus a und der entgegengesetzten ae' und
: ) Es ist entweder ee = e oder e'e' = e ; eine Gleichung mufs festgesetzt sein.