Ableitung der elementaren transcendenten Functionen einer Variabeln. 297
Bei der hier genannten Linie, welche der von der Stelle Null
nach — oo führenden Unstetigkeitslinie des Zweiges des Logarithmus
entspricht, haben wir einer grofsen Willkür Raum gelassen, da man
— wie früher hervorgehoben wurde — auch die ünstetigkeitslinie des
Logarithmus verschiedenartig wählen kann.
Die Umkehrungsfunction von
y — sin x = — e~ xi ),
für die wir schon ein Element aufgestellt haben, läfst sich wegen der
Gleichung
e 2ix — 2iy — 1 = 0
durch die Formel
x = are sin y — — i log (iy + j/l — y 2 )
definiren.
Da wir die algebraische Function iy + j/l — y l und den Loga
rithmus vollständig kennen gelernt haben, sind wir auch im Stande,
die neue Function are sin y zu untersuchen. Wir stehen davon ab
und verweisen auf eine ausführliche Darlegung ihrer Eigenschaften in
Thomae’s Functionentheorie auf Seite 102 if,
§ 49. Der Cosinus und Sinus ganzzahliger Vielfacher
des Argumentes.
Wir wollen an die Untersuchung der allgemeinen Potenz die Ab
leitung einiger späterhin nothwendiger Ausdrücke für
cos nx und sin nx
anschliefsen.
Da
e nxi — cos nx _[_ ¿ si u x — (jßXiy — ( CO s X -¡- Í sin x) n
e nxi __ cos nx l s J n x __ Xiyi _ ^ cos x — ¿ sin x) n
ist, wird
cos nx — ^ ((cos x -f- i sin x) n -f- (cos x — i sin x) n )
sin nx == ¿((cos x -f- i sin x) n — (cos x — i sin x) n ).
Bezeichnet n irgend eine endliche Zahlengröfse, so kann man COhn ' v
cos” x
und sm nx in dem durch die Bedingung |tg x\ <1 definirteu Bereiche
cosӒc
um die Stelle x — 0 in eine Potenzreihe nach Potenzen von tg x ent
wickeln, denn daselbst wird man die in den Ausdrücken:
COS nx = Y cos”íc((1 -f- i tg x) n -f- (1 — i tg x) n )
sin nx — ¿cos n ír((l -j- i tg x) n — (l — i tg x) n )