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Fünftes Capitel. 
auftretenden n {ca Potenzen der Binome 1 + i tg # in der genannten 
Weise darstelleu können. Weil tg # — 1 ist, sobald 
sin x = cos #) = cos x 
wird, so sieht man, dafs x — die ^ er Stelle x = 0 uächstlie- 
genden Stellen sind, für die die in iiede stehende Darstellung zu ex- 
istiren auf hört. 
Setzt man voraus, dafs n nur eine ganze Zahl sei, so werden 
cos nx und sin nx als rationale Functionen von cos x und sin nx aus 
zudrücken sein, und zwar gilt: 
sin nx 
cos” -1 # — cos” -3 # sin 3 # -f- 
cos”~ 5 # sin 5 # — 
+ 
+ 
( n \ 
i COf 
\n—l) 
cos # sin” -1 # 
i + sin” # , 
je nachdem n = 0, 2, 1, 3 (mod 4) ist. 
Ersetzt man cos 2 # durch 1 — sin 2 #, so erhalten diese Formeln 
die Gestalt: 
COS nx = COS 2vx — (1 — sin 2 x) v — ^2) (1 — sin 2 #)” -1 sin 2 # -)- 
-f- (1 — sin 2 #) v-2 sin 4 # — • • • + (— 1)” Sin” # 
COSW# = COS (2 V -{-])# — cos# 
(1—sin 2 #) 1 ' - I 2 )(1~ sin 2 #) v—1 sin 2 #-f- 
^(4) (l~ s i n2a: ) 1l ~ 2s i u4a; • • • + (— l) V ^ w n ^sin” -1 # 
sin nx — sin 2vx — cos # 
I ) (1 — sin 2 #) 1 '“ 1 sin # 
— (^ (1-—sin 2 #)’' -2 sin 3 # -J- • • • -f- (— l)* -1 ^ n J ^ sin” -1 # 
sin n X—sin (2 V -f-1) # = ^ J (1, — sin 2 x) v sin # — ^ j (1—sin 2 x) v " 1 sin 3 #-f- 
•••-(- (— 1)” sin”#. 
Entwickelt man die rechten Seiten nach steigenden Potenzen von sin #, 
ersetzt aber den Binomialcoefficienten