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Fünftes Capitel. 
cos 2v{^ } x) = (— l) v cos 2vx, 
cos (2v -f- 1) x) = (— l) v sin (2v -j- 1)#, 
sin 2v (~^ x) — (— l)^ 1 sin 
sin (2v -f 1) (-| x) = (— l) v cos (2* -f- l)a; 
ist, so erhält mau noch die Formeln: 
(— l) 2 cos nx = (—l) v cos 2vx — 1— ~ COS 2 X 
2¡ 1 4! 
n 2 (w 2 — 2 2 ) (w 2 — 4 2 ) 
COS 4 iC 
6! 
COS 6 X -f- 
(— 1) 2 COS flX = (—l) v COS(2i; -f- 1)# 
= sin X 
n+2 
1 n 2 -l 2 , . (n 2 — 1 2 )(íc 2 — 3 2 ) • , 
1 —— cos 2 # -4- ^ ' 
21 1 4! 
COS 4 #— 
(— 1) 2 sin nx= (—l) 1 ^ 1 sin 2vx 
f n n(n 2 — 2 2 ) o . n{n 2 — 2 2 ){n 2 — 4 2 ) 
= Sin X yCOS# gj COS 3 X -f- T-^ COS 5 # 
(— 1) 2 sin nx — (— l) v sin (2v -f- 1)# 
n n(n 2 —l 2 ) O | n(n 2 — l 2 )(w 2 —3 2 ) e 
= -7-COS# n -COS d #-r — COS 5 X — • • • 
1 o l 1 5! 
Man sieht also, dals cos 2vx und sin (2v -f- 1)# als rationale 
Functionen von cos x oder sin x allein darzustellen sind. Das Um 
gekehrte findet nicht statt, vielmehr ergibt sich cos x und sin x aus 
den Gleichungen als die Wurzel einer Gleichung w tcn Grades, die wir 
später angeben werden. 
Anhang. 
ln diesem Capitel sei nur noch einer wichtigen Reihe Erwähnung 
gethan, welche eine analytische Function definirt, die alle durch 
unsere Functionalgleichungen bestimmten transcendenten Functionen; 
die Exponentialfunction, den Logarithmus und die allgemeine Potenz 
umfafst. Diese Reihe lautet : 
/ r \ i i a ß r i a(«+l)ß(ß+l) 2 | K ( K + 1 )( a + 2 ) ihß + !)(ß + 2 ) r 3 | 
W-i+T/tTr,(, + 1) » + TXs »(r+i)(y+ä)* + 
CO 
= '^a v x v , 
v — 0 
wo die Constauten a, ß, y der Bedingung genügen müssen, dafs die 
Gröfsen 
(*-0,1,2...) 
% 
Y + (y + 0 v + v ‘ 2 
a r+l 
cc ß -f- (a -f- ß) v -p v 2