Ableitung der elementaren transcendenten Functionen einer Y ariabeln. 301
nicht unter jede angebbare Gröfse herabsinken, denn andernfalls hätte
die Potenzreibe keinen Convergenzbereich.
Bezeichnet mau die durch das angegebene Element definirte ana
lytische Function mit
y = F{a,ß, y, x),
so wird zunächst bei unendlich grofsem \ß\
e* = F(l,ß,
denn der Coefficient von , nämlich (ß (ß - 1}... (ß -j- v — 1) ß~ r )
wird Eins, Ferner ist
log (1 x) = xF{ 1, 1,2, —x)
(] -f- x ) a = F(—a, ß, ß, —x)
usw. Die Frage nach Functionen bestimmter Art, die in F{a,ß,y,x)
enthalten sind, z. ß. den algebraischen Functionen, und eine solche
ist ja bereits bei geeignetem a in (1 —{— a?)“ angeführt, stellt man pas
send dort, wo F{a, ß,y,x) durch eine übersichtliche Functionalglei-
chung definirt ist, in die vielleicht auch die Ableitungen von y nach
x eintreten. Man wird also zur Untersuchung der Function F{a,ß,y,x)
besser daran thun, wenn man an der Hand des Elementes zunächst
die Differentialgleichung aufsucht, welcher dieselbe genügt.
Bildet man die Ableitungen:
di — a ~~ F( a + 1 > ß + 1 f 7 +17 x ) = a y F\
d*y
dx 2
a(«-f-1)
ß(ß+l)
y(y+i)
F(cc-f-2, ß-f-2, y-j-2, x) = «(« + 1)
und allgemein:
= «(«+!)• :1 ), jjr+fjfi) F ( a + P + y + *)>
so findet man leicht die von Gaufs angegebene Beziehung zwischen
F, F t und F 2 bestätigt:
y{y-\-\)F—{y-\-V) {y-(cc + ß+l)x)F i -{a-{-l){ß+l)x{l-x)F 2 = 0
und wegen dieser Identität besteht für y die Differentialgleichung:
dUj
d x 2
+
_(« ±_ß + 1) « dy
íc(1 — x) dx
dy
a ß
x (1 — x)
V =
die nach der Substitution ^ = y t durch das canonische System zu
ersetzen ist:
dx
dt = x ^- x )> = x{l — x)y { ,
= 0 - (« + ß 4- ] ) x )yi — a ßy>
dt