Die Elemente der Arithmetik. 
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brochenen Zahlengröfsen, die unter dem Namen der rationalen Zahlen- 
yröfsen zusaramengefafst werden, mit alleiniger Ausnahme der Division 
durch Null widerspruchslos durchzuführen sind. Wir konnten die Rech 
nungsregeln für die neuen Gröfsen ableiten und darum sind wir — 
wie gleich erklärt werden soll — berechtigt, dieselben fernerhin in die 
Rechnung aufzunehmen. 
Wenn wir später irgendwo eine Aufgabe in den rationalen Zah 
lengröfsen nicht lösen können, wie die Subtraction ganzer Zahlen in 
eben diesen Gröfsen nicht durchführbar ist, sofern der Minuend kleiner 
ist als der Subtrahend, oder die Division ganzer Zahlen nicht in ganzen 
Zahlen zu bewerkstelligen ist, wenn der Dividend kein Multiplum des 
Divisors ist, werden wir neue Gröfsen zu definiren und hierauf den 
Vergleich der neuen Gröfsen untereinander und mit den rationalen 
vorzunehmen haben. Dabei fordern wir, dafs sie denselben Verknü- 
pfungsregeln folgen wie die ganzen Zahlen, und suchen ihre Rech- 
uungsregeln, wie z. B, ec' — e eine war-, oder besser wir fragen, ob 
und wie sind für die neuen Gröfsen a, h, c... die arithmetischen 
Grundoperationen (Addition, Multiplication, Subtraction und Division) 
zu definiren, damit a -f- h, ah, a — h, ” Gröfsen derselben Art 
bleiben wie a und h selbst, und dafs ferner die in den folgenden Glei 
chungen ausgesprochenen Gesetze gelten: 
a -j— h = h —(— a, (a -j— &) -|— c = (ft -j- c) -J— h, 
ah = ha, (ah)c = {ae)h, a (b -f- c) = ah -f- ac, 
{a — h) -\- h = a, ^-b — a. 
Die Existenzberechtigung neuer Gröfsen in der Rechnung werden 
wir wie früher blos darin suchen, dafs sich von ihnen die Rechnungs 
operationen in der nun bestimmten Weise widerspruchslos ausführen 
lassen. 
Das bisherige und das weiterhin zu gewinnende Gröfsensystem für 
die Rechnung ist und wird auf einer — soweit wir hier sehen — 
allerdings bestimmten aber nur formalen Grundlage aufgebaut. Von 
vornherein besteht ja kein zwingender Grund, von neu definirten 
Gröfsen zu verlangen, dafs sie den Rechnungsgesetzen ganzer Zahlen 
gehorchen, aber diese (willkürliche) Forderung, die so lange erlaubt 
ist, als keine Widersprüche daraus erwachsen, hat eine unentbehrliche 
Harmonie in der Mathematik zur Folge. Es bedarf keiner Rechtferti 
gung, wenn wir gerade die Permanenz der formalen Gesetze zum 
Princip erheben; die Existenzberechtigung der neuen Gröfsen in der 
Rechnung ist aber zweifellos, wenn die genannten Forderungen auf 
Grund gewählter Definitionen zu erfüllen sind. 
Andrerseits wird man aber auch die Definition eines neuen Be-