Sechstes Capitel. 
Darstellung der eindeutigen analytischen Functionen einer 
Veränderlichen. 
§ 50. Einleitung. 
Darstellung der ganzen transcendenten Function durch Producte. 
Darstellung jeder Function mit einer wesentlich singulären Stelle. 
Eine eindeutige analytische Function einer Veränderlichen mit 
blos aufserwesentlich singulären Stellen war stets als Quotient ganzer 
rationaler Functionen darstellbar; eine eindeutige Function, die im 
Endlichen überall regulären Verhaltens ist und die eiuzige (wesentlich) 
singuläre Stelle oo hat, konnte man durch eine beständig convergente 
Potenzreihe definiren usw. 
Darnach liegt die Frage nahe, ob man auch die arithmetische Ab 
hängigkeit des Werthes einer eindeutigen Function von dem Werthe 
der Variabein angeben kann, wenn für die Function singuläre Stellen 
in beliebiger Anzahl vorgelegt sind. 
Diese Frage ist für die neuere Functionentheorie charakteristisch, 
indem sie zwischen dem Euler'sehen Functionenbegriff, der mit dem 
Begriff des arithmetischen Ausdruckes zusammenfällt, und dem von 
Cauchy auf die Stetigkeit gestützten Begriff einer Function vermit 
telnd eintritt; sie definirt die analytische Function durch ein System in 
einander fortsetzbarer Potenzreihen und lehrt hinterher, wie man den 
arithmetischen Ausdruck einer solchen Function einheitlich bestimmt, 
wenn ihre ünstetigkeitsstellen gegeben sind. 
Die Grundlage für die Beantwortung der betreffs der eindeutigen 
Function einer Variabein gestellten Aufgabe bietet die Darstellung der 
ganzen Function mit unenendlich vielen Nullstellen als Product von 
Factoreu, die nur an einer Stelle verschwinden und die Darstellung 
einer Function mit unendlich vielen singuläreii Stellen, die eine Grenz 
stelle c haben, als Summe von Functionen, deren jede aufser au der 
hier auftretenden wesentlich singulären Stelle c nur an einer der ge 
gebenen Stellen irregulären Verhaltens ist. —