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Sechstes Capitel.
Bevor wir aber die Bestimmung einer ganzen rationalen Function
mit vorgeschriebenen Nullstellen a { , a 2 , . . . a n und einem bestimmten
Werthe A an einer von den a v verschiedenen Stellen x 0 in der Form
n
JTJor — a v )
G{x) = A-'^_
/7-0 -«,)
V~1
auf den Fall einer ganzen transcendenten Function ausdehnen, für die
unendlich viele Nullstellen vorgegeben sind, müssen wir einige Be
merkungen über unendliche Producte analytischer Functionen f v {x)
vorausschicken.
Angenommen, dafs jede der Functionen f v {x) auf die Form ge
bracht sei:
1 -f q>*{x),
so wissen wir, dafs
CO
+ ?*(«))
V— I
nur dann an einer Stelle x 0 convergirt, wenn auch
2
endlich ist. Damit also das Product eine Bedeutung habe, ist noth-
wendig, dafs die Functionen cp v [x) einen gemeinsamen Convergeuz-
bereich besitzen und cp v {x) wenigstens
in einem Theile dieses ße-
reiches convergirt. Wir sind aber nicht im Stande zu zeigen, dafs
das Product eine analytische Function darstellt, wenn wir nicht auch
co
annehmen, dafs diese Summe ^ q> v {x) in einem Bereiche {A) gleich-
mäfsig convergirt. Dann aber convergirt das Product gleichmäfsig,
ist daselbst stetig und definirt eine analytische Function; d. h. man
kann dann nach Annahme einer Gröfse £ eine solche ganze Zahl n
finden, dafs der absolute Betrag des Productes
OT + m'
YJfvix)
cc
und 17«*)
für jedes m und ein m > n und jede Stelle des Bereiches (A) von
Eins um weniger abweicht als e anzeigt, und ferner wird F(x) in ge
wisser Nähe jeder in dem Bereiche (A) liegenden Stelle a der Bedingung
\F{x) — F{a) \ < £
genügen und endlich durch eine Potenzreihe darstellbar sein.