Darstellung der eindeut, analyt. Functionen einer Veränderlichen. 
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CO 
Obwohl die gleichmäfsige Convergenz einer Reihe 2’ cp r ix) noch 
nicht die der unbedingten Convergenz nach sich zieht, womit nicht 
behauptet ist, dafs wirklich gleichmäisig convergente Reihen existiren, 
die nicht auch unbedingt convergeut sind, setzen wir bei dem Beweise 
voraus, dais diese Reihe gleichmäisig und unbedingt convergiré. 
Dann kann man ein n so angeben, dais nicht allein für jedes 
m > n 
co 
co 
< d, sondern auch2j \<pv{x)\ < d 
wird. Bezeichnet man hierauf 
co 
co 
1 + <P*№) = 1 + S m und jTJci + \<pv{x) i ) = 1 + S,n 
(wo die I(p v {x)j < 1 seien), so wird 
co 
co 
I J ( 1 + <Pv {%)) — |1 "f - Sm 1 5^ 1 “h I Sm I 1 "j~ $m == 
und man sieht, dafs unser Product wirklich unbedingt und gleich 
mäßig convergirt. Dasselbe definirt aber auch eine analytische Func 
tion, denn wenn mau 
1_|-<p v { x ) durch 
= eiPvW-V'r (®) = gTjog(l+<f v {x)) 
ersetzt und beachtet, dafs keine der Functionen i> r (x) in dem Bereiche 
(Ä) einen gewissen angebbaren Betrag g überschreitet, so ist 
co 
und weil Z cp r (x) eine analytische Function darstellt, mufs auch 
e 
eine analytische Function definiren und darstellen. 
Nach diesen Vorbemerkungen denken wir eine ganze transcendente 
Function gegeben, die unendlich viele Nullstellen besitzt (wie z. B. 
sin x oder cos x) . 
Innerhalb eines endlichen Bereiches kann nur eine endliche An 
zahl von Nullstelleu liegen, — wobei wir eine Nullstelle als n fach 
Bi er mann, Bunctionentheorio, 20