’, c 5. 
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Sechstes Capitel. 
CO CD 
m v +/¿ 
lim Sß(* M-(-l) = Um *5! ^ - V * ( x V 
gleich Null zu setzen ist, und sagen: Die gegebene Reihe von Stellen 
Oj| y &2 y • • • d'v y • • • 
ist die Reihe von Nullstellen derjenigen ganzen Function, welche durch 
Entwicklung des Ausdruckes 
CO co 
V V Wy (» V 
r=l U=I + VW 
in eine Potenzreihe nach o; entsteht, oder durch das unendliche Pro 
duct 
dargestellt wird. Multiplicirt man 6r(;r) noch mit a;”°, so geht eine 
ganze Function hervor, die aufser den Nullstellen a v noch au der 
Stelle Null w 0 mal verschwindet. 
Man hann also stets eine ganze iFunction mit vorgeschriebenen 
Nullstellen angeben, aber schon darum, weil die ganzen Zahlen m v 
gewissermafsen willkürlich geblieben sind, ist die Function nicht ein 
deutig bestimmt, und ferner ist das Product einer ersten ganzen Func 
tion G {) {x) der verlangten Art und einer im Endlichen nicht verschwin 
denden ganzen Function 
ßffo (x) 
— wo g 0 (x) selbst eine ganze Function bezeichnet — eine Function 
derselben Art. 
Aber umgekehrt ist jede ganze Function mit den gegebenen Null 
stellen in der Form 
m v 
G{x) - e(»)eM») = (l - e”Ji' 
darstellbar, denn der Quotient zweier ganzer Functionen mit denselben 
n v fachen Nullstelleu ist eine im Endlichen nirgends verschwindende 
und durchaus endliche, also ganze Function 
G{x) 
G 0 (x) 
= G x {x), 
die stets auf die Form e g °№ gebracht werden kann. 
In der That: bildet man die sogenannte logarithmische Ableitung 
von 6r, (x), d. i. 
d log G t (,x) 
dx 
1 d Gj 
G t dx ’