Darstellung der eindeut, analyt. Functionen einer Veränderlichen. 
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so ist diese wieder eine ganze Function g x {x), und wenn man der 
Stelle x — 0 den Aufangswerth 6r,(0) zuorduet, wird 
Cr, (x) = eM*). 
Darnach sind alle ganzen Functionen G(x) mit den Nullstellen der 
einfachen Function Cr 0 (x) wirklich in der Formel 
6r 0 (V).e <*>(*) 
enthalten, in der e g °№ der äufsere Factor von G{x) heißen möge. 
Eine ganze Function ist somit in einer der drei Formen dar 
stellbar: 
n CO 
e o (») t x n ° YJ~-y Ve “ {x) > X n ° ( a ; e9{x) > 
je nachdem sie keine, oder eine endliche oder unendliche Anzahl von 
Nullstellen besitzt. Wenn man die ganze Function 
g{x) — g(0) 
in eine unbedingt und gleichmäßig convergente Summe ganzer ratio 
naler Functionen y v (x) zerlegt, die für x — 0 verschwinden, und 
l V 
lv 2 7 (77)^ + y* (*) mit 9v ix), 
e?W mit C 
bezeichnet, so wird das beständig unbedingt und gleichmäßig conver 
gente Product in das Product der Primfunctionen 
—^ ” v ( x ) 
V ) 
und eines Factors C.x n ° übergehen. 
Die Willkürlichkeit, die bei der Construction einer ganzen Func 
tion mit vorgegebenen Nullstellen übrig bleibt, liegt in der Wahl der 
Constanten G und gewissermaßen in der der rationalen Functionen 
g v 0). — 
Eine eindeutige Function, welche überall mit Ausnahme der Stelle c 
regulären Verhaltens ist, muß eine ganze Function von —- 
g(—) 
VC — <3/ 
sein, und diese kann nur unendlich viele Nullstellen 
CI 1 7 Ci' 2 j • • • Cty y • • • 
besitzen, wenn die Grenzstelle der a v die Stelle c ist, oder was das 
selbe sagt, wenn mau die Reihe der a v so ordnen kann, daß 
|a v — c|^|a v -1 — c 1 und lim |a v — c( = 0 
V — CO 
wird. 
Ist umgekehrt eine derartige Reihe von Stellen gegeben und nennt 
man jetzt Primfunction eine ganze Function von ( ^ ), die nur an