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Darstellung der eindeut. analyt. Functionen einer Veränderlichen. 
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In der Umgebung jeder Stelle die nicht Nullstelle von G 1 c ) 
ist, wird die ganze Function durch eine innerhalb des Bereiches 
r < 1 convergente Potenzreihe und iu der durch die 
je x 0 1 
Bedingung — < —■ definirten Umgebung der regulären Stelle 
x — 00 durch eine Potenzreihe darstellbar sein. In derjenigen 
Umgebung von x = x 0 , welche keine Nullstelle von enthält, 
kann man die ganze Function fernerhin auch durch eine Formel 
(x - x 0 ) 
darstellen, indem daselbst 
1 dG 
G dx 
in eine Potenzreihe zu entwickeln ist. Aber in der Umgebung einer 
Nullstelle a v wird man den Quotienten 
0 (—) 
K v i x ) 
in eine Potenzreihe ^3'[x— a v ) entwickeln können, und darum wird 
6r (—-—^ daselbst durch eine Formel 
definirt werden, indem die Primfunction E v {x) in der Umgebung ihrer 
Nullstelle a v durch eine Reihe derselben Gestalt 
o — a v ).e^ v(x ~ av) 
darstellbar ist. — 
Aus den voranstehenden Sätzen kann man einen Schlufs auf die 
Darstellungsform jeder eindeutigen Function ziehen, die in dem Be 
reiche der unbeschränkten variablen Gröfse x nur eine wesentlich sin- 
gid'dre Stelle c besitzt. 
Hat die eindeutige Function keine von c verschiedene singuläre 
Stelle, so ist sie eine ganze Function des Argumentes —-— . Besitzt 
7 o 0 x — c 
sie aber beliebig viele (eine endliche oder unendliche Anzahl) aufser- 
wesentlich singulärer Stellen 
, l>2} ■ • • b V) ... 
welche jedenfalls den Bedingungen: 
\b v -i — c\^\b v — c\, lim \b v — c| = 0 
gemäfs zu ordnen sind, so gibt es eine ganze Function G 2 ( x ^_ .), die 
an diesen Stellen in derselben Ordnung verschwindet, als die in Rede