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Sechstes Capitel. 
stehende Function F{x) dort unendlich wird. Das Product von F{x) 
und 6r, ( wird dann eine mit Ausnahme der Stelle c überall end- 
liehe und eindeutige Function Cr, ~ und darum nimmt F{x) selbst 
die Gestalt an: 
F{x) 
s ' k -A 
c ( j (*) 
00 
YJiE Uv {x, m v ) 
V — i 
GO 
JjF nv {x, m') 
d. h. die eindeutige Function mit der wesentlich singulären Stelle c 
ist durch den Quotienten zweier ganzer Functionen des Argumentes 
a , 1 _ c auszudrücken, von denen eine gewifs transcendeut ist. Die Func 
tion Cr 2 muís dann transcendent sein, wenn F{x) unendlich viele 
aufserwesentlich singuläre Stellen besitzt. 
Umgekehrt ist der Quotient zweier ganzer Functionen desselben 
Argumentes —-—, von denen beide oder blos eine transcendent sei, 
eine eindeutige Function mit der wesentlich singulären Stelle c, denn 
wäre sie in der Umgebung von c durch ein Product: 
7— l —r- 33 (x — c) 
darzustellen, so könnte weder Cr t noch (r 2 transcendent sein. 
Man kann aus der Darstellungsform von F{x) entnehmen, dafs 
diese Function in unendlich kleiner Umgebung ihrer wesentlich sin 
gulären Stelle c jedem Werthe beliebig nahe kommen kann. 
Mau bemerke zunächst, dafs \F{x)\ für beliebig kleine Werthe 
von \x — c\ gröfser gemacht werden kann als eine beliebig vorgelegte 
Gröfse K. Wenn Cr 2 eine transcendente Function ist, so liegen in 
beliebiger Nähe von c Nullstellen dieser Function, an denen F{x) 
unendlich grofs wird. Ist aber 6r 2 eine ganze rationale Function, so 
bringe man den Quotienten auf die Form 
Gf + g t gj 2) 
Gz 
wo auch 6r ( ü eine ganze rationale Function, aber niedrigeren Grades 
als 6r 2 ist und Gr ( , 2) eine ganze transcendente Function bedeutet. Dann 
Q(!) . I 
wird für unendlich grofse Werthe des Argumentes unendlich 
klein und |-F(#)| in unendlich kleiner Umgebung von c unendlich grofs. 
Da endlich die eindeutigen Functionen 
1"ii nn ( i L_ 
F{x) 
und 
F{x) — 0