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Darstellung der eindeut, analyt, Functionen einer Veränderlichen.
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dieselbe wesentlich singuläre Stelle besitzen, so existiren in dem ge
nannten Bereiche um c auch Stellen, wo
\F{x)\ < ~ und \F{x) — C\ < ^
wird, womit die Behauptung erwiesen ist.
§ 51. Fortsetzung. Darstellung der trigonometrischen Functionen.
Wir kehren wieder zu unserer Function
m v
-rV / \ ~(—Y
U '
zurück und wollen sie — wie das bei der gleichmäßigen und unbe
dingten Convergenz des Productes erlaubt ist — ebenso wie das Pro
duct einer endlichen Anzahl von Factoren differentiiren. Es ist
JL dG o
G 0 dx
d log G 0
dx
GO
= ^(, + a„ + a, 0 + -" + i ')
=2[
d log {x~ a v Y
dx
und wir wissen, dafs in der Umgebung jeder von den Null
stellen a Y und der unendlich fernen Stelle verschiedenen Stelle regu
lären Verhaltens sein mufs. *)
*) Man bemerkt, dafs
dE
Gd{x)
(<F ”*■ )
dx
da
für x=a v gleich (dx)~^^ a ^ unt * X= a r' Deshalb stellt die
, m ^
V«/ v
Summe
dE
2
71 _ _ßo{x)
'¡v r.
dx
e;K) *(^«0
^ffy G) ffy
eine ganze Function G(x) dar, die an den unendlich vielen Nullstellen
die festgesetzten Werthe rj t , 7] 2 ,... annimmt.
Wann diese Summe beständig convergirt, wollen wir nicht untersuchen,
denn es ist uns nur darum zu thun, die Erweiterung der Lagrange’schen Inter
polationsformel anzudeuten.
Ist die Häufungsstelle der unendlich vielen Stellen, an denen eine ganze
Function vorgegebene Werthe hat, nicht £c = oo, sondern x = c, so mufs die
Stelle c eine wesentlich singuläre Stelle der gesuchten Function sein, denn in