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Sechstes Capitel. 
Nehmen wir von vornherein an, dafs keine der den Nullstellen 
a v zugeordneten ganzen Zahlen m v eine endliche angebbare Zahl m 
übertrifft, so kommt man leicht zu dem Schlüsse, es mnfs daun 
m-f1 
endlich sein. 
In der That führt die m malige Differentia 
tion der Gleichung: 
ij r- -Z [--S^ +í( 1 +í+‘: ; +&-) 
auf eine Summe: 
d m+1 log G 0 _ d m+1 log (x - a v ) nv ■ (-l) w+1 mln v 
dx m+l dx m+1 {x — a v ) m+l 
die in der Umgebung der nicht singulären Stelle x — 0 endlich sein 
soll, aber nicht endlich sein kann, wenn 
2 
m+l 
nicht convergirt. 
Laguerre nennt eine ganze transcendente Function 6r 0 {x) vom 
Range m, wenn für die Reihe ihrer Nullstellen m die kleinste ganze 
endlich ist. Darnach sind die Functionen 
Zahl ist, für die ^ P- 
m-f1 
Fc{x), sin 7t X, COS 7CX 
ganze Functionen ersten Ranges. Die Reihe der Nullstellen von 
sin ж x und cos 7t x sind 
0, + 1, +2,... beziehungsweise + \ , + y, ± y? • • • 
und weil die Reihe 
co GO 
2w und nmsomehr 2(tirv 
VX=1 v=l v 1 ' 
convergirt, kann man diese Functionen in der Form darstellen; 
ITC 
-fco 
X 
V — —oo 
2x 
2v -(-1 
x 
) e 2v +i e 
y(x) 
Doch müssen hier die äufseren Factoren e^, e^ (x) noch passend be 
stimmt werden, damit die Producte gerade sin 7tx und cos rtx und 
nicht blos Functionen mit denselben Nullstellen definiren. 
Zur Bestimmung dieses Factors dienen folgende allgemeine Be 
trachtungen. 
Ist 0, a Xi a 2 ,... die Reihe der Nullstellen einer ganzen Function 
des m ten Ranges und läfst man x unendlich zunehmen, ohne dabei 
den Bereich der gleichmäfsigen Couvergenz der Summe