Die Elemente der Arithmetik.
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Wiederholung zu einem Reste r m ~ i < cc gelangen und kann a als
Summe
ca m -f- c, a m ~ 1 + • • • + Cm-l« + r m-1 (1)
darstellen, in der c, c,, ... der Gröfsenreihe
0, 1,... a — 1
entnommen sind.
Diese Darstellung ist nur auf eine Art möglich; denn setzt man
auch
d = d Ci n —{— ¿ly Ci n 1 —j- • • • —(— (l n _ i Ci -}— p n j ,
so ist die Übereinstimmung der beiden Darstellungen leicht erwiesen.
Da sowohl
u m < a < als auch «”•<«<
gilt, ist ja
a m < a n + l , a n <
und diese Ungleichungen bestehen nur zusammen, wenn n — m ist.
Weil ferner
ca m < a < (c -f- 1) a m , da m a < (ö! -J- I) a m
ist, mufs
c <, d -\- 1, also d — c
sein. Durch dieselben Schlüsse folgt d y = c,, iZ 2 = c 2 , . . . . p,„_x =
r m _x, q. e. d.
Nehmen wir nun eine aus der Einheit und deren ßruchtheilen ge
bildete (positive) rationale Gröfse “ auf, so ist entweder
a = c () h oder a = c n h -J- r 0 ,
wo von den ganzen Zahlen c 0 und r 0 die letztere kleiner ist als h. Es
wird also
T = ° 0 oder c 0 < T < c 0 -f 1.
Bildet man = oder ar 0 = c,?>-f-r,, wo c, eine ganze Zahl
aus der Reihe 0, 1, 2, ... a — 1 und 1 < h ist, so wird
T = c o + v oder c 0 + ^ < c 0 < c 0 + •
Indem man die Divisionen
a = c i ül
h — (, oT h >
b ’ b
v
b
“ r ° = Cl +
ar„ r
n i
_ = : Cn+1 ~r
b >
n-\-l
ar {
~b~
C 2+ b
fortsetzt,
folgt für -y eine Darstellung;
a
T
Biermann, Fmictionentheorie.
C 0 +
+ 2 +
+
(2)