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Sechstes Capitel.
v = — co
2
(2 v -f- 1) (2v -f- 1 — x)
die Darstellung:
% cosec it x — —
x
CO GO
GO
GO
Dm den Cyclus der Darstellungen der trigonometrischen Functionen
durch Potenzreihen, unendliche Producte oder unendliche Summen
rationaler Functionen voll zu machen, hat man noch 7t sec 7tx durch
eine Summe und sec x in der Umgebung der Stelle x = 0 durch eine
convergente Poteuzreihe 2 c v darzustellen. Wir werden diese Auf
gabe alsbald lösen und bemerken hier nur, dafs c 0 = 1 und alle Coeffi-
cienten Czfi — i Null sein müssen, weil
sec 0=1 und
ist. —
Um eine andere Anwendung der früheren Sätze über die ganzen
Functionen mit gegebenen Nullstellen vorzubringen, wollen wir den
Sinus und Cosinus ganzzahliger Vielfache des Argumentes x als Pro
duct einer endlichen Anzahl von Sinus und Cosinus-Functionen neuer
Argumente darstellen.
Da die Function sin mx offenbar dieselben Nullstellen besitzt wie
all die Functionen
oder
sin x
und keine weiteren, so kann man
m— 1
in— 1
setzen, und der Vergleich der beiden Seiten dieser Gleichung zu
gehörigen Darstellungen durch ein Product von Primfunctionen lehrt,
wie die ganze Function g{x) beschaffen sein mufs.