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Sechstes Capitel. 
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§ 52. Die Weierstrafs’sche (^-Function. 
Wir wollen noch eine ganze Function 6r 0 (V) hersteilen, welche 
die unendlich vielen Nullstellen 
w = 2 (i co -j- 2 (i' co' (ji, f 1 = °°) 
besitzt, wo co und co' solche Gröfsen sein müssen, dafs in einem 
endlichen Bereich der Variablen x nicht unendlich viele Nullstelleu 
w liegen, denn andernfalls gäbe es keine ganze Function der ver 
langten Art.*) 
Es kann zunächst keine der Gröfsen co und co' unendlich klein 
sein; sie können aber auch nicht in reellem Verhältnis stehen, denn 
wäre in 
die Klammergröfse reell und zunächst eine rationale Zahlengröfse, 
so könnte mau unendlich viele ganze Zahlen (i und (i angebeu, für 
die ft -f- (i ~ gleich Eins würde und dann wäre die Nullstelle x — 2 co 
von unendlich hoher Ordnung, was nicht zulässig ist. Wäre aber — 
° o w 
eine irrationale Zahlengröfse, so liefsen sich stets ganze Zahlen ft„ und 
(i v finden, für die 
|2ft v o — 2 ca'\ 
kleiner würde als eine beliebig kleine positive Gröfse d und dann wäre 
x — 0 eine Häufungsstelle von Nullstellen. In der That: entwickelt 
mau das reelle Verhältnis — in einen unendlichen Kettenbruch, ein 
* fi) 7 
ht ergeben, weil sonst ~ rational wäre, und 
2co' f 1 
—- und dem v len Näberungsbruche -so wird 
° Py 
endlicher kann sich nicht ergeben, weil sonst - 
rational wäre, und 
bildet die Differenz von und dem i/ ten Nä 
wo e positiv und kleiner als 1 ist. Weil aber Zähler und Neuner der 
Näherungsbrüche eines Kettenbruches fortwährend zunehmen, so kann 
man auch ein v so angebeu, dafs < ö wird, w. z. b, w. 
*) Vergleiche Weierstrafs, Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der 
elliptischen Functionen (herausgegeben von H. A. Schwarz) und andrerseits 
Kiepert, ganzzahlige Multiplication der elliptischen Functionen (ßorchardt’s 
Journal, Bd. 76).