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Erstes Capitel.
wenn die Division einmal ohne Rest r m aufgeht. Weil mit der Glei-
, ar m-1
chung —^— = c m
a m r.
- J - = « w_1 c t -f- a m ~ 2 Cj + • • • + ac m ~ 1 +
wird, sieht man, ¿a/s die genannte Darstellung nur möglich ist, wenn
h allein aus Primfactoren von a zusammengesetzt ist; dann aber gibt
es für nur eine in Rede stehende Darstellung, in der man auch c 0
in der früheren Weise ausdrücken kann.
Sollte keine der Divisionen aufgehen, so gibt es in der Reihe der
Gröfsen r höchstens h — 1 verschiedene, da nur h — 1 ganze Zahlen
kleiner als h existiren. Wenn es somit in der Reihe r 0 , r, . . . r 0 -1
einen wiederkehrenden Werth r m gibt und etwa
V m -f- k == V k
ist, so wird
+ * == fm+k + K == (% == 1, 2 ... Id)
und folglich wiederholen sich in der Reihe der Gröfsen c m +1, c m + 2 - • •
die k <[ l) — 1 Gröfsen c m + i, c m +2 • • • c m _p* ohne Ende.
Die Zahl
Cm +1«*' 1 + c m . + 2 a k ~ 2 -f • • -j- -f c m+k = C
heifst die zu gehörige Periode in Bezug auf die Basis a. Ob man
in dem Falle des Erscheinens einer solchen Periode
= c » + V + t + ■ • • + ^ + -%k ( 1 + ¿r + 7»+ ■ • • •)
setzen kann, mufs erst untersucht werden, denn jetzt können wir aus
der Beschaffenheit unmittelbar aufeinander folgender Gröfsen c nur
schliefsen, dafs die Ungleichungen
+ f+t + --- + ^<i< c »+T+^ + --- +
L n+1
bestehen. Der absolute Betrag der Differenz der Gröfsen, zwischen
welchen ~ eingeschlosseu ist, ist gleich und dieser kann bei hin
länglich grofs gewähltem n kleiner gemacht werden, als ein noch so
kleines Element s v = — •
V
Wir erkennen also, dafs die Darstellung einer positiven rationalen
Gröfse nicht immer in der Form einer Summe einer endlichen An-
b
zahl ganzer Zahlen und Brüche mit den Potenzen einer fest gewählten
Zahl a als Nenner möglich ist, und bei dem Versuche, diese Dar
stellung allgemein durchzuführen, begegnen wir Summen mit einer