Darstellung der eindeut, analyt. Functionen einer Veränderlichen, 333 
Soll demnach eine ganze Function existiren, welche die Nullstellen 
w besitzt, so muís das Verhältnis 
x 
co 
complex oder der reelle 
von Null verschieden 
sein, aber dann gibt es in einem endlichen Bereiche nur eine endliche 
Anzahl von Stellen 2fia -f- 2fi'a'. 
Zum Beweise beachte man, dafs sich bei nicht reellem Verhältnis 
der Gröfsen 2 a — a -f- iß und 2 a' — a -f- iß', wo (aß' — aß) von Null 
verschieden ist, jede Gröfse 2a *= a x -f- ia 2 in der Form 2|,fij -f- 2| 2 ö 
darstellen läfst, wobei % x und £ 2 reelle Gröfsen bleiben. Man hat 
und | 2 nur aus den zwei Gleichungen a x == a £, -f- a | 2 und a 2 ==ß -f- ß'% 2 
zu entnehmen. Darauf läfst sich jeder endliche Bereich durch die Ge- 
sammtheit der Stellen 2£j a -J- 2| 2 co' definiren, für welche und £ 2 
zwischen endlichen Grenzen gelegen sind, und man sieht, dafs ^ und | 2 
innerhalb des Bereiches nur eine endliche Anzahl Male ganze Zahlen 
sein können. 
Man nennt zwei Gröfsenpaare (2co, 2a') und (2 tö, 2co') von nicht 
reellem Verhältnis äquivalent, wenn die Gesammtheit der Werthe 
w — 2 fi a -f- 2 ft a 
mit der Gesammtheit der Werthe 
w = 2vTo -f- 2v to' (v, v' = 0, -4~ 1, -j- 2...) 
übereiustimmt. Man sieht, dafs die nothwendige und hinreichende Be- 
dingung für die Äquivalenz zweier Gröfsenpaare in der Existenz zweier 
Gleichungen liegt: 
TS = p a -j— q a', ' = p a -f- q a', 
in welchen die positiven oder negativen ganzen Zahlen wieder der Be 
dingung 
pq -/(] = + ! 
genügen, denn unter diesen Umständen kann man stets zwei ganze 
Zahlen v und v so bestimmen, dafs 
wird, und umgekehrt müssen die obigen Bedingungen erfüllt sein, wenn 
jeder Stelle w eine Stelle a und umgekehrt entspricht. 
Wir können jetzt festsetzen, dafs > 0 sei, denn andern 
falls wähle man nur ein (2a, 2a) äquivalentes Gröfsenpaar (2 &r, 2w'), 
für welches 
gröfser als Null ist und dazu raufs nur pq' — q'p = — 1 sein.