Darstellung der eindeut, analyfc. Functionen einer Veränderlichen. 335 
d 2 log a{x) = 1 . yiy 1 
dx 2 x 2 ' Va? — w) 2 w 2 / 
und 
_ d 3 log a (x) ^ 'ST* 1 
dx 3 (a; — m) 3 
stellen analytische Functionen dar ; die im Endlichen die ein-, zwei- 
oder dreifachen aufserwesentlich singulären Stellen x — w besitzen, 
deren Häufungsstelle x = oo ist. 
Die dritte der genannten Functionen bleibt ungeändert, wenn man 
x um irgend eine der aus 2co und 2a' durch Addition oder Subtrac 
tion zusammengesetzten Gröfsen w vermehrt. Da aber zufolge des 
nicht reellen Verhältnisses — keine homogene ganzzahlige lineare Re 
lation zwischen 2co und 2co' besteht, ist die Function — 
doppeltperiodisch. 
d 3 log a{x) 
dx 3 
Bezeichnet man 
so ist 
d 2 log a (x) 
dx 2 
p'{x -f- 2a) = p'{x -J- 2a) 
= Pipe), 
= p'(x -f- w) 
= p'{x). 
Weil aber 
ö(—x) = —(?(«), <?'(—x) = a'(x), 
— x) g'(x) 
(?(— x) G{x) ’ 
ist, wird 
und 
p{—x)=p{x) und p'(—x) — —p\x) 
p\a) — 0, p' {a') — 0, p'(a -j- a') = 0 
p{a) = p{—a), p{a') — p{—a). 
Nach dieser Zusammenstellung der Werthe von p(x) und p'(x) an 
zwei Stellen entnehmen wir den Gleichungen: 
dp{x -f- 2 m) dp(x) dp{x-j-2a»') dp{x) 
dx dx 7 dx dx 
die Beziehungen 
p {x -f- 2 a) = p (x), p {x -f- 2 a') == p (x) 
d. h. auch p(x) hat die beiden Perioden 2 a und 2co' und die aus 
diesen ganzzahlig zusammengesetzten Perioden w. 
Die doppeltperiodische Function p(x) wird au jeder Nullstelle der 
Function ö{x) so unendlich, dafs erst 
{x — w) 2 p{x) 
in der Umgebung derselben regulären Verhaltens ist und wird an allen 
übrigen Stellen regulär; sie mufs daher als Quotient zweier ganzen 
Functionen darstellbar sein.