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Sechstes Capitel.
§ 53. Der Laurent’sehe Satz.
Wir wenden uns wieder zu allgemein functionentheoretischeu
Fragen und vor Allem zu dem Laurent’schen Satze, der aussagt,
dafs man eine eindeutige analytische Function f(x), die in der Um
gebung jeder Stelle x 0 eines um einen Punkt x — c gelegenen ring
förmigen Gebietes, wo
jRj < \x — c\ < B 2
ist, regulären Verhaltens bleibt, daselbst einheitlich durch eine nach
positiven und negativen Potenzen von (x — c) fortschreitende Potenz
reihe
darstellbar ist.
Bei dem Beweise*) dieses Satzes kann man voraussetzen, dafs
c= 0 und f{x) eine ungerade Function sei, die bei der Vertauschung
von — x mit x ihr Zeichen wechselt, weil jede Function F{x) als
Summe einer geraden und ungeraden Function
i im + •*’(- *)). 4 Uw - F (-»))
und somit auch als Summe
/4 0*0 + ®/*(®)
darzustellen ist, wo /j (x) und f 2 (x) ungerade Functionen bezeichnen.
Sobald der L a ü r e n t’sche Satz für ungerade Functionen f{x) bewiesen
ist, gilt er allgemein.
Wenn wir aufserdem f{x) auf die Form bringen
\ (/0*0 + f(^j) + Y (f№ ~~ Ky))
und für die Functionen f(x) + /(“■) und fix) —/’(/) die verlangte
Entwicklung beweisen, haben wir wieder alles Nothwendige geleistet.
Wir setzen ferner fest, dafs die Radien B { und B 2 des Ring
gebietes, an dessen Stellen sich f{x) regulär verhält, der Bedingung
genügen
B t B 2 — 1,
denn andernfalls führt die Substitution x — j/Bi B 2 V zu e i uer Func
tion von y } die in einem durch Radien r v und r 2 definirten Gebiete
regulär ist, für welches r x r 2 — 1 gilt.
Sollte B x Null oder der gröfsere Radius B 2 unendlich sein, so
beschränke man das Gebiet zunächst auf ein anderes mit den Radien
Bf und B 2 und gehe von diesem zu einem neuen, wo rfr 2 = 1 ist.
*) Entnommen aus Schaeffer’s Abhandlung: Actamathemat. Bd. 4, p. 375.