Die Elemente der Arithmetik.
19
unbeschränkten Anzahl von Elementen e und s n
für sich behandeln müssen.
e
, die wir nun
n
§ 6, Einführung der irrationalen Gröfsen.
Wir ziehen ganz allgemein Gröfsen in den Kreis der Betrachtung,
die im Gegensatz zu den rationalen Zahlengröfsen durch Zusammen
setzung einer unbeschränkten Anzahl von (vorderhand blofs positiven)
Elementen gebildet sind. Begrifflich ist eine solche Gröfse durch
eine „Reihe“
£ n, + £«,+ ••• + £n m
vollkommen definirt, wenn man angeben kann, welche Elemente und
wie oft diese in der Reihe auftreteu.
Wir denken uns durch die Reihe ein Object, eine Gröfse gesetzt,
fassen die Reihe im Gegensatz zu den Elementen und den Summen
einer endlichen Anzahl von Elementen als Gröfse für sich auf.
Es mufs zunächst gezeigt werden, wie man die neuen Gröfsen
untereinander und mit den rationalen Zahlengröfsen vergleichen kann.
Die Definition der Gleichheit rationaler Gröfsen, die auf der
Transformation in gleiche Elemente s v beruhte, ist hier nicht anwend
bar, weil eine unbeschränkte Anzahl von Transformationen unausführ
bar ist. Man kann z. ß. die Gleichheit von
nicht in der früheren Weise darthun, und man mufs eine neue De
finition der Gleichheit aufsuchen.
Dazu führt die folgende Definition: Nimmt man aus einer Gröfse
a der neuen Art eine willkürliche aber beschränkte Anzahl von Ele
menten heraus, so sagt man, man habe einen Bestandtheil herausge-
griffen. Darnach heifst h ein Bestandtheil von a, wenn eine beschränkte
Anzahl von Elementen in a so transformirt werden kann, dafs in a
nebst h noch andere Elemente Vorkommen.
Gröfsen der neuen Art, in denen jede Zahl als Bestandtheil ent
halten ist, heifseu unendlich. Wir schliefsen diese Gröfsen von der
Betrachtung aus, bemerken aber gelegentlich, dafs eine Gröfse, die
ein noch so kleines Element unendlich oft enthält, selbst unendlich
ist. Da man z. B. zeigen kann, dafs