Darstellung der eindeut, analyt. Functionen einer Veränderlichen. 
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Dasselbe gilt für die Function 
m = 4 №)+/(i'. 
(/■(*)+/(D) +1 (/w+■ 
Sind die zwei ursprünglichen Radien jR, und B 2 (B 1 B 2 — 1) au die 
neuen Ungleichungen geknüpft: 
so kann man den neuen Fall auf den früheren zurückführen, indem 
man f(x) durch eindeutige Functionen einer Variabeln y ausdrückt, 
für die das zugehörige Ringgebiet, in welchem sie regulären Verhal 
tens sind, die frühere Bedingung erfüllt. 
löl UiC §V i- U ICIin V Uli Tf-v v/XOCi Uiiu .... _ ■ OXÜUjII i/y 
R i V2 — 1 J 
Bezeichnet dann a eine n ie primitive Einheitswurzel und führt man 
die n Functionen 
fn {x) — —{x^f\x) -f- (axy i f{ax) -j- • • • -j- {a* 1 - 1 x)v ffa”- 1 x)) 
O = 0,l,...n-1) 
ein, durch welche f(x) in der Form 
n—1 
auszudrücken ist, so sind die n Functionen in einem dem Kreis- 
riuge von f{x) entsprechenden Bereiche der verlangten Beschaffenheit 
eindeutige Functionen von y, denn einem Werthe y a aus diesem Be 
reiche gehören n Werthe von x zu, die in dem regulären Gebiete von 
f{x) liegen. 
Da ferner jeder Bestandtheil (a v xY f{a v x) von nach ganzen 
Potenzen von x — x 0 und x — x 0 nach ganzen Potenzen von y — y 0 
zu entwickeln ist, so kann man jede der Functionen /j t nach positiven 
Potenzen von y — y 0 nach positiven und negativen Potenzen von y 
darstellen. Setzt man wieder y = x n , so ergeben sich für die n Func 
tionen f u nach positiven und negativen Potenzen von x fortschreitende 
Reihen, und demgemäfs wird f(x) in dem Bereiche Ii l < \x\ < B 2 
in der Form 
—I— co 
vt. — 1 
zu entwickeln sein. Damit ist der Laureut’sehe Satz in allen seinen 
Theilen bewiesen. 
Die Reihe 
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