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Sechstes Capitel.
convergirá für alle Stellen der Umgebung R { des Punktes oo, und
wenn B i kleiner ist als jede beliebig kleine Gröfse, so stellt diese
Reibe offenbar eine beständig convergente d. h. ganze Function des
Argumentes ^ dar, die für -^-=0 verschwindet. Damit ist klar, dafs
eine eindeutige Function in der Umgebung jeder isolirten singulären
Stelle c in der Form
G (¡¡rb)+- <0
darstellbar ist, wo G eine mit dem Argument verschwindende ganze
rationale oder transcendente Function bezeichnet, je nachdem die Stelle
c eine aufserwesentlich oder wesentlich singuläre ist. Sobald c aber
eine reguläre Stelle ist, mufs G c ) identisch verschwinden.
§ 54. Das Mittag -Leffler’sehe Theorem.
Wir gehen nun zur Lösung der zweiten der zu Eingang dieses
Capitels gestellten Aufgaben, eine eindeutige analytische Function mit
unendlich vielen vorgegebenen singulären Stellen, die eine Grenzstelle
haben, als Summe solcher Functionen darzustellen, deren jede auf ser an
einer Häufungsstelle nur an einer der gegebenen Stellen irregulären Ver
haltens ist.*)
Wir zeigen zunächst, indem wir denselben Gang wie bei den
ganzen Functionen einschlagen, dafs man stets eine eindeutige analy
tische Function bilden kann, welche überall regulären Verhaltens ist,
ausgenommen in der Umgebung der von einander verschiedenen
Stellen
Ctj j Ct2y • • • Cty y • • •
mit der einzigen Häufungsstelle x = b, und welche in der Umgebung
einer Stelle a v in der Form
G ’{Ff) + *p-(» -
darstellbar ist, wo G y a ^ eine vorgegebene ganze rationale oder
transcendente Function des Argumentes —-— bedeutet, die mit ——
ö x-a, ’ x — a v
verschwindet.
Ist die Reihe singulärer Stellen a v endlich, so gibt es keine Grenz
stelle b und
- c +lM^)
*) Siehe Weierstrafs, Functionenlehre S. 53, und Mittag-Leffler, Acta
mathematica Bd. 4,