Darstellung der eindeut, analyt. Functionen einer Veränderlichen. 
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ist eine analytische Function der verlangten Art. Umgekehrt ist jede 
eindeutige analytische Function mit den singulären Stellen a x , a 2 ,... 
a n durch einen Ausdruck der genannten Art darstellbar, denn die ein 
deutige Function F{x) verhält sich in der Umgebung der isolirten sin 
gulären Stelle a v wie ein Ausdruck 
—a v ) 
wo G v eine ganze rationale oder transcendente Function bezeichnet, 
je nachdem a v eine aufserwesentlich oder wesentlich singuläre Stelle ist. 
Die Differenz ® 
V = 1 \ *'/ 
verhält sich dann überall regulär und kann daher nur eine Cou- 
stante sein. 
Der obige allgemeine Satz von Mittag-Le ff ler wird dadurch 
abgeleitet, dafs man aus den gegebenen Functionen G v (—-—) eine 
\x — a v J 
Reihe anderer Functionen F v (x) dergestalt ableitet, dafs jede Differenz 
*(•) - Q ’ (i=*) 
eine Function mit den zwei singulären Stellen a v und b oder eine Con- 
co 
stante wird und gleichzeitig die Summe ^\F v {x) in jedem Bereiche, 
V = 1 
der keine der Stellen a und b enthält, unbedingt und gleichmäfsig 
convergirt. Dann ist nämlich diese Summe die verlangte Function 
und jede andere entsteht durch Addition einer ganzen Function 6r(- 1 )• 
Weierstrafs nimmt eine unendliche Reihe positiver Gröfsen , s 2 , 
« 3 , ... von endlicher Summe auf und eine positive Gröfse £< 1, setzt 
dann, wenn a v — 0 oder oo ist, F v (x) = G v ^ a ^ , entwickelt aber 
in jedem andern Falle die gegebene Function 
G 
r v (—~) = 
\ x ~ a J 
» 
»W 
(x-a v ) 
in eine innerhalb des Bereiches 
+ 
(x - a v )2 
a..—b 
+ 
x — b 
{x - a v ) 3 
< 1 convergente Reihe 
die für b = oo die Form 
fi = 0 
u=0 \ V/ 
erhält und convergirt, solange 
< 1.